坐标几何（一）｜距离、中点及斜率

刊登日期: 2026-08-01 数学分类: 坐标几何 作者/编辑: 港数师 MathSir 难度: ★★☆☆☆ 阅读时间: ~14 分钟 人气热度: 31

文章摘要

本文涵盖坐标几何的核心技巧—— 这是 DSE 卷一甲部（1）及（2）经常出现的课题，占 3–5 分。你将学习如何运用距离公式求两点间的距离、如何求线段的中点，以及如何求直线的斜率。你亦会学习如何以不同形式书写直线方程，以及如何判断两直线的平行与垂直关系。文章包括逐步例题、DSE 应试技巧、练习题。这些是必备技能，在 DSE 试卷中经常出现。

对应试卷	卷一甲部（1）及（2）
常见分值	3–5 分
课程纲要	度量、图形与空间范畴 – 坐标几何：两点间的距离、直线方程及圆方程

学习目标

完成本文后，你应能够：

运用距离公式计算两点间的距离。
运用中点公式计算线段的中点。
给定两点计算直线的斜率。
以点斜式、斜截式及一般式书写 直线方程。
判断两直线是否平行或垂直。
应用以上技巧于 DSE 风格的题目。

1. 引言：

坐标几何每年都在 DSE 卷一甲部（1）及（2）出现。题目可能要求你：

求两点间的距离
求线段的中点
求直线的斜率或方程
判断两直线是否平行或垂直

这些都是必备技能，亦会在圆方程及进阶坐标几何中出现。

DSE 应试提示

坐标几何的题目通常以 短答题 形式出现在甲部（1），每题 2–3 分；在甲部（2）则以 较长题目 形式出现，每题 4–5 分。

2. 距离公式

两点 $ A(x_1, y_1) $ 与 $ B(x_2, y_2) $ 之间的距离为：

$$ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$

此公式由 毕氏定理 推导得出。距离永远为非负数。

例题

题目：求 $ A(2, 3) $ 与 $ B(5, 7) $ 之间的距离。

题解

$ d = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $

答案：$ 5 $ 单位。

3. 中点公式

连接 $ A(x_1, y_1) $ 与 $ B(x_2, y_2) $ 的线段之中点 $ M $ 为：

$$ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) $$

中点是 x 坐标和 y 坐标的 平均值。

例题

题目：求 $ A(2, 3) $ 与 $ B(6, 9) $ 的中点。

题解

$ M = \left( \frac{2 + 6}{2}, \frac{3 + 9}{2} \right) = \left( \frac{8}{2}, \frac{12}{2} \right) = (4, 6) $

答案：$ (4, 6) $。

4. 直线的斜率

通过 $ A(x_1, y_1) $ 与 $ B(x_2, y_2) $ 的直线之斜率（或坡度）为：

$$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$

正斜率：直线由左至右上升（递增）。
负斜率：直线由左至右下降（递减）。
零斜率：水平线。
无定义斜率：垂直线（分母为 0）。

例题

题目：求通过 $ A(2, 3) $ 与 $ B(5, 11) $ 的直线之斜率。

题解

$ m = \frac{11 - 3}{5 - 2} = \frac{8}{3} $

答案：$ \frac{8}{3} $。

5. 直线方程

点斜式

若直线通过 $ (x_1, y_1) $ 且斜率为 $ m $：

$$ y - y_1 = m(x - x_1) $$

斜截式

若直线斜率为 $ m $，y 截距为 $ c $：

$$ y = mx + c $$

一般式

$$ Ax + By + C = 0 $$

例题

题目：求通过 $ (2, 3) $ 且斜率为 $ 4 $ 的直线方程。

题解

用点斜式：$ y - 3 = 4(x - 2) $

$ y - 3 = 4x - 8 $

$ y = 4x - 5 $

答案：$ y = 4x - 5 $。

6. 平行与垂直直线

平行：两直线平行若它们的 斜率相同（$ m_1 = m_2 $）。
垂直：两直线垂直若它们的斜率乘积为 -1（$ m_1 \times m_2 = -1 $）。

DSE 记忆口诀

平行：斜率相同。垂直：斜率互为 负倒数。

例题

题目：直线 $ y = 2x + 3 $ 与 $ y = -\frac{1}{2}x + 1 $ 是否垂直？

题解

$ m_1 = 2 $，$ m_2 = -\frac{1}{2} $

$ m_1 \times m_2 = 2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -1 $

答案：是，它们互相垂直。

7. 例题

例题 1：距离

题目：求 $ (-2, -1) $ 与 $ (4, 7) $ 之间的距离。

题解

$ d = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (7 - (-1))^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 $

答案：$ 10 $ 单位。

例题 2：中点

题目：求连接 $ (0, 5) $ 与 $ (8, 13) $ 的线段之中点。

题解

$ M = \left( \frac{0 + 8}{2}, \frac{5 + 13}{2} \right) = (4, 9) $

答案：$ (4, 9) $。

例题 3：直线方程

题目：求通过 $ (1, -2) $ 与 $ (3, 4) $ 的直线方程。

题解

斜率：$ m = \frac{4 - (-2)}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3 $

用点斜式：$ y - (-2) = 3(x - 1) $

$ y + 2 = 3x - 3 $

$ y = 3x - 5 $

答案：$ y = 3x - 5 $。

8. DSE 风格练习题

甲部（1）及（2）风格

题目 1 MC
求 $ (1, 2) $ 与 $ (4, 6) $ 之间的距离。
A. $ 3 $ B. $ 4 $ C. $ 5 $ D. $ 6 $

题目 2 MC
$ (3, 7) $ 与 $ (9, 3) $ 的中点是：
A. $ (6, 5) $ B. $ (5, 6) $ C. $ (3, 2) $ D. $ (12, 10) $

题目 3 短答
求通过 $ (-2, 5) $ 与 $ (4, -1) $ 的直线之斜率。

题目 4 短答
求斜率为 $ -\frac{1}{2} $ 且通过 $ (0, 3) $ 的直线方程。

题目 5 MC
以下哪条直线与 $ y = 3x - 2 $ 垂直？
A. $ y = 3x + 1 $ B. $ y = -\frac{1}{3}x + 5 $ C. $ y = -3x + 4 $ D. $ y = \frac{1}{3}x - 2 $

9. 题解

题目 1： C. $ 5 $
$ d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5 $。

题目 2： A. $ (6, 5) $
$ M = \left( \frac{3+9}{2}, \frac{7+3}{2} \right) = (6, 5) $。

题目 3： $ -1 $
$ m = \frac{-1 - 5}{4 - (-2)} = \frac{-6}{6} = -1 $。

题目 4： $ y = -\frac{1}{2}x + 3 $
斜截式：$ y = mx + c $，其中 $ m = -\frac{1}{2} $，$ c = 3 $。

题目 5： B. $ y = -\frac{1}{3}x + 5 $
垂直斜率 = $ -\frac{1}{3} $（3 的负倒数）。

9. 基础练习

点击下列链接查看基础练习
基础练习：坐标几何（一）｜距离、中点及斜率

重点总结

你必须记住的重点

距离：$ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $
中点：$ M = \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) $
斜率：$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $
点斜式：$ y - y_1 = m(x - x_1) $
平行：$ m_1 = m_2 $
垂直：$ m_1 \times m_2 = -1 $
这课题保证在 DSE 卷一甲部（1）及（2）有 3–5 分——掌握这些技巧！

复习清单

距离公式：$ \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $
中点公式：$ \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) $
斜率公式：$ \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $
点斜式：$ y - y_1 = m(x - x_1) $
斜截式：$ y = mx + c $
平行：$ m_1 = m_2 $
垂直：$ m_1 \times m_2 = -1 $
检查无定义斜率（垂直线）