除了单纯解二次方程外，DSE 卷一乙部及卷二 MC 经常要求你判定 根的符号 （两正、两负或一正一负），以及求 参数的范围 使根满足特定条件。 本文提供一套完整的框架，运用 判别式、 根的和 及 根的积。 你将学会系统性地结合这些条件、处理涉及顶点的不等式问题，并避免常见陷阱。 内容包括例题、DSE 应试贴士及大量练习。
对于二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\)，其根为 \(\alpha\) 和 \(\beta\)，我们有三个强大的工具：
通过结合这些工具，我们可以在不解方程的情况下判定根的 符号， 并求出未知参数 \(k\) 的范围，使根满足特定条件。这些技巧在 DSE 卷一乙部及卷二 MC 中经常测试。
根 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 的符号可通过和与积判定：
| 根的条件 | 所需条件 |
|---|---|
| 两根皆为正 | \(\Delta \ge 0\)、\(\alpha + \beta > 0\)、\(\alpha\beta > 0\) |
| 两根皆为负 | \(\Delta \ge 0\)、\(\alpha + \beta < 0\)、\(\alpha\beta > 0\) |
| 两根一正一负 | \(\alpha\beta < 0\)（这自动意味着 \(\Delta > 0\)） |
| 其中一根为零 | \(c = 0\)（即 \(\alpha\beta = 0\)） |
| 两根皆为正且相异 | \(\Delta > 0\)、\(\alpha + \beta > 0\)、\(\alpha\beta > 0\) |
积为正 → 同号（皆正或皆负）。
积为负 → 异号。
和为正 → 较大的根为正。
和为负 → 绝对值较大的根为负。
对于「两根皆为正」（或皆为负），你 必须 同时要求 \(\Delta \ge 0\)； 否则根可能为复数。然而，对于「一正一负」，条件 \(\alpha\beta < 0\) 已保证 \(\Delta > 0\)，故无需额外检查判别式。
不解方程，判定 \(2x^2 - 7x + 3 = 0\) 的根的符号。
解：
\(a = 2\)，\(b = -7\)，\(c = 3\)。
\(\Delta = (-7)^2 - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25 > 0\) → 两个实根。
\(\alpha + \beta = -\frac{-7}{2} = \frac{7}{2} > 0\)。
\(\alpha\beta = \frac{3}{2} > 0\)。
由于积 > 0，两根同号。由于和 > 0，两根皆为正。
答案： 两根皆为正。
求 \(k\) 的范围，使 \(x^2 + (k-1)x + (k+2) = 0\) 的两根一正一负。
解：
要使两根一正一负，需 \(\alpha\beta < 0\)，即 \(\frac{c}{a} < 0\)。
此处 \(a = 1\)，\(c = k+2\)。
\(k + 2 < 0 \Rightarrow k < -2\)。
答案： \(k < -2\)。
常见的 DSE 题目要求：「求 \(k\) 的范围，使方程的两根皆大于 2。」 解这类问题，我们结合判别式及二次函数的行为。
对于 \(f(x) = ax^2 + bx + c = 0\)，且 \(a > 0\)，两根皆大于实数 \(m\) 当且仅当：
对于 \(a > 0\)，两根皆小于 \(m\) 当且仅当：
求 \(k\) 的范围，使 \(x^2 - 2kx + (k^2 - 1) = 0\) 的两根皆大于 1。
解：
此处 \(a = 1 > 0\)，\(b = -2k\)，\(c = k^2 - 1\)。
条件 1：\(\Delta \ge 0\)
\(\Delta = (-2k)^2 - 4(1)(k^2 - 1) = 4k^2 - 4k^2 + 4 = 4 > 0\)。
恒成立。
条件 2：\(f(1) > 0\)
\(f(1) = 1 - 2k + k^2 - 1 = k^2 - 2k = k(k-2)\)。
需 \(k(k-2) > 0 \Rightarrow k < 0\) 或 \(k > 2\)。
条件 3：顶点 \(x\) 坐标 \(> 1\)
\(-\frac{b}{2a} = -\frac{-2k}{2} = k > 1\)。
综合：\(k > 2\)。
答案： \(k > 2\)。
求 \(m\) 的范围，使 \(x^2 - (m+1)x + m = 0\) 的两根皆小于 3。
解：
\(a = 1 > 0\)，\(b = -(m+1)\)，\(c = m\)。
条件 1：\(\Delta \ge 0\)
\(\Delta = (m+1)^2 - 4m = m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2 \ge 0\)。
恒成立。
条件 2：\(f(3) > 0\)
\(f(3) = 9 - 3(m+1) + m = 9 - 3m - 3 + m = 6 - 2m\)。
需 \(6 - 2m > 0 \Rightarrow m < 3\)。
条件 3：顶点 \(x\) 坐标 \(< 3\)
\(-\frac{b}{2a} = \frac{m+1}{2} < 3 \Rightarrow m + 1 < 6 \Rightarrow m < 5\)。
综合：\(m < 3\)。
答案： \(m < 3\)。
求 \(k\) 的范围，使 \(x^2 - 2x + k = 0\) 的根满足 \(\alpha < 1 < \beta\)。
解：
要使根夹在 1 的两侧，需 \(a \cdot f(1) < 0\)（因为曲线在 \(x=1\) 处与 x 轴相交于两侧）。
此处 \(a = 1 > 0\)，所以需 \(f(1) < 0\)。
\(f(1) = 1 - 2 + k = k - 1 < 0 \Rightarrow k < 1\)。
（当 \(a \cdot f(1) < 0\) 时，判别式条件自动满足。）
答案： \(k < 1\)。
运用根的性质技巧回答下列各题。
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基础练习： 二次方程根的性质：符号判定及范围问题