二次方程 – 3 种解法：因式分解 + 配方法 + 公式

学习目标

• 以 因式分解 解二次方程（包括十字相乘法）。
• 以 配方法 解二次方程，并以根式形式表示答案。
• 正确运用 二次公式，包括处理判别式。
• 为不同类型的二次方程选择 最有效的方法。
• 通过代入验算答案，并理解判别式的意义。

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引言

二次方程是形如 \(ax^2 + bx + c = 0\)（其中 \(a \neq 0\)）的方程。 在 DSE 卷一甲部(1) 及(2)，你经常需要解这类方程。主要有三种方法：

• 因式分解 – 当二次式可因式分解时最快。
• 配方法 – 给出顶点形式，适用于所有情况。
• 二次公式 – 万能工具，适用于所有二次方程。

本文将逐步解释每种方法，附有例题及应试策略。

方法 1：因式分解

若二次式 \(ax^2 + bx + c\) 可分解为 \((px + q)(rx + s)\)，则方程 \(ax^2 + bx + c = 0\) 可通过令每个因式等于零来求解。

步骤

1. 将方程写成标准形式 \(ax^2 + bx + c = 0\)。
2. 将二次式完全因式分解。
3. 令每个因式等于零并解 \(x\)。

例题 1 – 因式分解

方法 2：配方法

此方法将二次式改写为 \((x + p)^2 = q\) 的形式，然后开方求解。 当二次式不易因式分解或需要顶点时特别有用。

步骤

1. 若 \(a \neq 1\)，将整个方程除以 \(a\)，使 \(x^2\) 的系数为 1。
2. 将常数项移至右边。
3. 在两边加上 \(\left(\frac{b}{2}\right)^2\)（其中 \(b\) 为步骤 1 后 \(x\) 的系数）。
4. 将左边写成完全平方，然后开方。

例题 2 – 配方法

方法 3：二次公式

二次公式 \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) 给出 \(ax^2 + bx + c = 0\) 的解。 它适用于 所有 二次方程。

步骤

1. 从标准形式中识别 \(a\)、\(b\)、\(c\)。
2. 计算判别式 \(\Delta = b^2 - 4ac\)。
3. 代入公式并化简。

例题 3 – 二次公式

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选择合适的方法

情况	建议方法	原因
表达式容易因式分解	因式分解	最快，无需根式或分数。
\(a=1\) 且 \(b\) 为偶数	配方法	给出顶点形式，系统性强。
数字较大或因式分解不明显	二次公式	保证有效，无需思考。

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DSE 应试技巧 – 卷一及卷二

DSE 式练习题

用指定方法解下列各方程。

练习题解

9. 基础练习

点击下列链接查看基础练习
 基础练习： 二次方程 – 3 种解法：因式分解 + 配方法 + 公式

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复习清单

• 因式分解： 我能分解二次式并令因式等于零求解。
• 配方法： 我能改写为 \((x+p)^2=q\) 并求解。
• 二次公式： 我能正确运用公式。
• 选择方法： 我能为每个方程选择最有效的方法。
• 验算： 我将解代入原方程验证。