涉及二次方程的文字题是 DSE 卷一甲部(2) 及乙部的常见题型。 本文聚焦三种经典类型：面积问题、 数字与数列问题 及 物理情境 如抛体运动。你将学会 系统化方法 将文字转化为二次方程， 使用因式分解、配方法或公式求解，并在情境中诠释结果。 内容包括逐步例题、DSE 应试贴士、练习题及作业，助你掌握此课题。
二次方程经常出现在现实情境中。在 DSE 数学中，你会遇到需要从给定信息 建立二次方程、求解，然后诠释答案的文字题。常见情境包括：
关键是 清楚定义变量、写出方程， 并记住 舍弃任何负数或不合理的解。
在面积问题中，通常给定图形的面积及尺寸之间的关系，你需要求尺寸。
一个长方形的长比宽多 3 cm。若面积为 40 cm²，求其尺寸。
解：
设宽度为 \(x\) cm，则长度为 \(x+3\) cm。
面积 = 长 × 宽：
\[
x(x+3) = 40.
\]
\[
x^2 + 3x - 40 = 0.
\]
因式分解：
\[
(x+8)(x-5) = 0.
\]
所以 \(x = -8\) 或 \(x = 5\)。
由于宽度不能为负，故 \(x = 5\)。
宽度 = 5 cm，长度 = \(5+3 = 8\) cm。
答案： 宽 5 cm，长 8 cm。
一个三角形的底比高多 4 cm。若面积为 30 cm²，求其高。
解：
设高为 \(h\) cm，则底为 \(h+4\) cm。
三角形面积 = \(\frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}\)：
\[
\frac{1}{2}(h+4)h = 30.
\]
\[
h(h+4) = 60.
\]
\[
h^2 + 4h - 60 = 0.
\]
因式分解：
\[
(h+10)(h-6) = 0.
\]
所以 \(h = -10\) 或 \(h = 6\)。
由于高度必须为正，故 \(h = 6\)。
答案： 高 = 6 cm。
这类问题涉及连续整数、连续偶数／奇数，或具有给定和或积的数字。
两个连续正整数之积为 72。求这两个整数。
解：
设较小的整数为 \(x\)，则下一个整数为 \(x+1\)。
乘积：
\[
x(x+1) = 72.
\]
\[
x^2 + x - 72 = 0.
\]
因式分解：
\[
(x+9)(x-8) = 0.
\]
所以 \(x = -9\) 或 \(x = 8\)。
由于整数为正，故 \(x = 8\)。
整数为 8 和 9。
答案： 8 和 9。
两个连续偶数的平方和为 100。求这两个整数。
解：
设较小的偶数为 \(x\)，则下一个偶数为 \(x+2\)。
平方和：
\[
x^2 + (x+2)^2 = 100.
\]
展开：
\[
x^2 + x^2 + 4x + 4 = 100.
\]
\[
2x^2 + 4x - 96 = 0.
\]
除以 2：
\[
x^2 + 2x - 48 = 0.
\]
因式分解：
\[
(x+8)(x-6) = 0.
\]
所以 \(x = -8\) 或 \(x = 6\)。
若 \(x = 6\)，整数为 6 和 8；若 \(x = -8\)，整数为 \(-8\) 和 \(-6\)。
两组皆有效。（通常题目可能指定正数。）
答案： 6 和 8，或 \(-8\) 和 \(-6\)。
许多物理问题以二次方程建模。常见例子是向上抛出的物体高度， 由 \(h = -5t^2 + v_0 t + h_0\) 给出（取 \(g \approx 10\) m/s²）。
一个球从地面以初速 20 m/s 向上抛出。 其 \(t\) 秒后的高度 \(h\)（以米为单位）为 \(h = 20t - 5t^2\)。 求球到达 15 m 高度时的时间。
解：
设 \(h = 15\)：
\[
20t - 5t^2 = 15.
\]
移项：
\[
5t^2 - 20t + 15 = 0.
\]
除以 5：
\[
t^2 - 4t + 3 = 0.
\]
因式分解：
\[
(t-1)(t-3) = 0.
\]
所以 \(t = 1\) 或 \(t = 3\)。
球在 \(t = 1\) 秒（上升时）及 \(t = 3\) 秒（下降时）处于 15 m 高度。
答案： \(t = 1\) 秒及 \(t = 3\) 秒。
不要忘记在情境要求正值时 舍弃负解。 同时，检查答案是否合理 – 例如时间不能为负。
为每个问题建立并解二次方程。
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基础练习： 二次方程文字题：面积、数列及物理情境