二次方程 的解（根）有直接的图像意义： 它们就是抛物线 的 x 轴截距。 本文探讨这个基本关系，说明 判别式 如何决定 x 轴截距的数目 （0、1 或 2 个），以及 顶点式 如何即时揭示顶点及对称轴。你将学会绘画二次函数图像、从图像读取资讯， 并解决连结代数与几何的 DSE 题目。内容包括例题、应试贴士及练习题。
二次函數 \(y = ax^2 + bx + c\)（其中 \(a \neq 0\)）的圖像稱為 拋物線。當我們設 \(y = 0\)，便得到二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\)。這個方程的解正是拋物線 與 x 軸相交或接觸 的點 —— 即 x 軸截距。
這種代數與幾何的聯繫非常強大：它讓我們能視覺化解，並利用圖像資訊解方程。在 DSE 中， 這個關係在卷一及卷二中均有測試。
\(ax^2 + bx + c = 0\) 的 根 正好就是圖像 \(y = ax^2 + bx + c\) 的 x 軸截距的 x 坐標。
這意味著若你知道根 \(\alpha\) 和 \(\beta\)，就知道圖像在 \((\alpha, 0)\) 及 \((\beta, 0)\) 處與 x 軸相交。 反之，從圖像讀取 x 軸截距，便得到對應方程的根。
| 判別式 | 方程的根 | 圖像的 x 軸截距 |
|---|---|---|
| \(\Delta > 0\) | 兩個相異實根 | 拋物線與 x 軸相交於兩點 |
| \(\Delta = 0\) | 一個重根 | 拋物線與 x 軸恰好接觸一點（頂點在 x 軸上） |
| \(\Delta < 0\) | 無實根 | 拋物線不與 x 軸相交 |
不要混淆 x 軸截距 與 y 軸截距。 y 軸截距是設 \(x = 0\)，得 \(y = c\)。所以 y 軸截距永遠是 \((0, c)\)。
頂點式 \(y = a(x-h)^2 + k\) 對繪圖特別有用，因為它即時告訴我們：
求圖像 \(y = x^2 - 5x + 6\) 的 x 軸截距。
解：
設 \(y = 0\)： \[ x^2 - 5x + 6 = 0. \] 因式分解： \[ (x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ 或 } x = 3. \] 答案： x 軸截距為 \((2,0)\) 及 \((3,0)\)。
判斷 \(y = 2x^2 - 4x + 5\) 的 x 軸截距數目。
解：
\(a = 2\)，\(b = -4\)，\(c = 5\)。
\(\Delta = (-4)^2 - 4(2)(5) = 16 - 40 = -24 < 0\)。
由於 \(\Delta < 0\)，沒有實根，所以圖像 沒有 x 軸截距。
答案： 0 個 x 軸截距。
對於 \(y = x^2 - 4x + 3\)，求 (a) 頂點，(b) 對稱軸，(c) y 軸截距，(d) x 軸截距。
解：
(a) 配方：
\[
y = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 3 = (x-2)^2 - 1.
\]
頂點：\((2, -1)\)。
(b) 對稱軸：\(x = 2\)。
(c) y 軸截距：設 \(x=0\)，\(y = 3\)。點：\((0, 3)\)。
(d) x 軸截距：設 \(y=0\)：
\[
x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 1, 3.
\]
點：\((1,0)\) 及 \((3,0)\)。
答案： 頂點 \((2,-1)\)，對稱軸 \(x=2\)，y 軸截距 \((0,3)\)，x 軸截距 \((1,0)\)、\((3,0)\)。
圖像 \(y = ax^2 + bx + c\) 的 x 軸截距為 \(x = -2\) 及 \(x = 4\)，且經過 \((0, -8)\)。 求該圖像的方程。
解：
由於 x 軸截距為 \(-2\) 及 \(4\)，方程可寫成： \[ y = a(x+2)(x-4). \] 代入點 \((0,-8)\)： \[ -8 = a(0+2)(0-4) = a(2)(-4) = -8a \Rightarrow a = 1. \] 所以方程為： \[ y = (x+2)(x-4) = x^2 - 2x - 8. \] 答案： \(y = x^2 - 2x - 8\)。
求 \(k\) 的範圍，使圖像 \(y = x^2 + kx + 4\) 不與 x 軸相交。
解：
沒有 x 軸截距意味著沒有實根，所以 \(\Delta < 0\)。
\(\Delta = k^2 - 4(1)(4) = k^2 - 16 < 0\)。
\(k^2 < 16 \Rightarrow -4 < k < 4\)。
答案： \(-4 < k < 4\)。
運用方程與圖像的關係回答下列各題。
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基础练习： 二次方程与二次函数图像的关系（x 轴截距）