二次公式 是解 型二次方程的万能方法。 当因式分解困难或不可能时，它仍然适用。 在 DSE 卷一及卷二，你经常需要快速准确地运用此公式。 本文提供 记忆技巧、常见错误分析 及大量 DSE 风格练习，助你掌握此公式。 你将学会如何使用判别式、化简根式，以及避免典型错误。
二次公式 是 DSE 数学中最重要的公式之一。 它让你能解任何二次方程，即使因式分解失败。公式为： \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] 用于方程 \(ax^2 + bx + c = 0\)，其中 \(a \neq 0\)。
虽然公式本身很直接，但考生经常在正负号、化简或忘记 \(\pm\) 方面出错。 本文将帮助你避免这些陷阱，并提供记忆技巧，确保你在考试压力下仍能记住公式。
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
判别式告诉你根的性质：
用这句话记住公式：「负 b，加减根号，b 平方减四 a c，全部除以二 a。」 反复念诵或唱出来。对于判别式，记住 「b 平方减四 a c」 – 它就是根号内的部分。
用二次公式解 \(x^2 - 5x + 6 = 0\)。
解：
此处 \(a = 1\)，\(b = -5\)，\(c = 6\)。
判别式：\(\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1\)。
\[
x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 \pm 1}{2}.
\]
所以 \(x = \frac{6}{2} = 3\) 或 \(x = \frac{4}{2} = 2\)。
答案： \(x = 3\) 或 \(x = 2\)。（此题也可因式分解为 \((x-2)(x-3)=0\)。）
解 \(x^2 - 4x + 1 = 0\)。
解：
\(a = 1\)，\(b = -4\)，\(c = 1\)。
\(\Delta = (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12\)。
\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}.
\]
答案： \(x = 2 + \sqrt{3}\) 或 \(x = 2 - \sqrt{3}\)。
解 \(2x^2 + 3x - 2 = 0\)。
解：
\(a = 2\)，\(b = 3\)，\(c = -2\)。
\(\Delta = 3^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25\)。
\[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2(2)} = \frac{-3 \pm 5}{4}.
\]
所以 \(x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) 或 \(x = \frac{-8}{4} = -2\)。
答案： \(x = \frac{1}{2}\) 或 \(x = -2\)。
解 \(x^2 + 2x + 5 = 0\)。
解：
\(a = 1\)，\(b = 2\)，\(c = 5\)。
\(\Delta = 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 < 0\)。
由于判别式为负，没有实根。
答案： 没有实根。
最常见的错误是忘记 \(-b\) 中的负号。例如，若 \(b = -5\)，则 \(-b = 5\)。 务必用括号写出公式：\(x = \frac{-(b) \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)，然后代入。
\(\pm\) 符号意味着你必须考虑正负两个平方根。漏掉其中一个根会失分。
务必将根式完全化简。例如，\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)，以及 \(\frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}\)。
确保方程在标准形式 \(ax^2 + bx + c = 0\) 后才识别 \(a\)、\(b\)、\(c\)。 例如，在 \(3x^2 = 5x - 2\) 中，先整理为 \(3x^2 - 5x + 2 = 0\)。
用二次公式解下列各方程。如有需要，以最简根式表示答案。
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基础练习： 二次公式 – 应用及记忆技巧