学习二次方程的根的和及根的积定理（韦达定理）。无需解方程即可计算对称函数。DSE 卷一及卷二 MC 必备。对于二次方程 ，若其根为 和 ，则 根的和 为 ， 根的积 为 。这些称为 韦达定理。它们让你能计算如 、 等表达式，甚至建立新的二次方程， 而 无需解原方程。 本文涵盖理论、例题、常见陷阱及 DSE 风格练习。
考虑二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\)，其中 \(a \neq 0\)。假设其根为 \(\alpha\) 和 \(\beta\)。 则方程可写成： \[ a(x - \alpha)(x - \beta) = 0. \] 展开： \[ a(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta) = ax^2 - a(\alpha + \beta)x + a\alpha\beta = 0. \] 与 \(ax^2 + bx + c = 0\) 比较系数： \[ -a(\alpha + \beta) = b \quad \Rightarrow \quad \alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \] \[ a\alpha\beta = c \quad \Rightarrow \quad \alpha\beta = \frac{c}{a}. \] 这两个公式在 DSE 数学中非常有用，让你能在不解方程的情况下处理根的问题。
对于 \(ax^2 + bx + c = 0\)，其根为 \(\alpha\) 和 \(\beta\)：
\[ \alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \qquad \alpha\beta = \frac{c}{a}. \]
这些公式也称为 韦达定理。
根的和： 记住 “负 b 除以 a”。
根的积： 记住 “c 除以 a”。
简单口诀：“和是负 b 比 a，积是 c 比 a。”
许多 DSE 题目要求计算涉及 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 的对称表达式。以下是你必须掌握的最常见公式：
| 表达式 | 以 \(\alpha+\beta\) 及 \(\alpha\beta\) 表示的公式 |
|---|---|
| \(\alpha^2 + \beta^2\) | \((\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta\) |
| \(\alpha^3 + \beta^3\) | \((\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)\) |
| \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\) | \(\frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}\) |
| \((\alpha - \beta)^2\) | \((\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta\) |
| \(\alpha^2\beta + \alpha\beta^2\) | \(\alpha\beta(\alpha + \beta)\) |
小心正负号。由于 \(\alpha + \beta = -\frac{b}{a}\)，若 \(b\) 为负，则 \(\alpha+\beta\) 为正。另外，记住 \(\alpha\beta\) 可为负。务必用括号代入。
对于 \(2x^2 - 7x + 3 = 0\)，求 (a) \(\alpha + \beta\)，(b) \(\alpha\beta\)。
解：
此处 \(a = 2\)，\(b = -7\)，\(c = 3\)。
(a) \(\alpha + \beta = -\frac{-7}{2} = \frac{7}{2}\)。
(b) \(\alpha\beta = \frac{3}{2}\)。
答案： \(\alpha+\beta = \frac{7}{2}\)，\(\alpha\beta = \frac{3}{2}\)。
对于 \(x^2 - 5x + 6 = 0\)，求 \(\alpha^2 + \beta^2\)。
解：
此处 \(a = 1\)，\(b = -5\)，\(c = 6\)。
\(\alpha + \beta = 5\)，\(\alpha\beta = 6\)。
\[
\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 5^2 - 2(6) = 25 - 12 = 13.
\]
答案： \(13\)。
\(x^2 - 4x + 1 = 0\) 的根为 \(\alpha\) 和 \(\beta\)。建立一个根为 \(\frac{1}{\alpha}\) 和 \(\frac{1}{\beta}\) 的二次方程。
解：
由已知方程：\(\alpha + \beta = 4\)，\(\alpha\beta = 1\)。
对于新根 \(\frac{1}{\alpha}\) 和 \(\frac{1}{\beta}\)：
和：\(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \frac{4}{1} = 4\)。
积：\(\frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha\beta} = \frac{1}{1} = 1\)。
新方程为：
\[
x^2 - (\text{和})x + (\text{积}) = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 1 = 0.
\]
（在此情况下，方程不变。）
答案： \(x^2 - 4x + 1 = 0\)。
方程 \(x^2 - kx + 12 = 0\) 的根之和为 \(7\)。求 \(k\)。
解：
根之和 \(= -\frac{-k}{1} = k\)。
已知和 \(= 7\)，所以 \(k = 7\)。
答案： \(k = 7\)。
对于 \(2x^2 + 3x - 2 = 0\)，求 \(\alpha^3 + \beta^3\)。
解：
\(a = 2\)，\(b = 3\)，\(c = -2\)。
\(\alpha + \beta = -\frac{3}{2}\)，\(\alpha\beta = \frac{-2}{2} = -1\)。
\[
\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)
= \left(-\frac{3}{2}\right)^3 - 3(-1)\left(-\frac{3}{2}\right)
= -\frac{27}{8} - \frac{9}{2} = -\frac{27}{8} - \frac{36}{8} = -\frac{63}{8}.
\]
答案： \(-\frac{63}{8}\)。
运用根的和及根的积公式回答下列各题。
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基础练习： “根的和”及“根的积”定理