比较系数法 是解 DSE 代数中 恒等式问题 的强大技巧。当两个多项式恒等时，对应次幂的系数必须相等。 这个简单原理让你求出未知常数、证明恒等式，并将复杂分式拆解為 部分分式。本文提供完整指南，包括清晰步骤、例题、 DSE 应试贴士、常见陷阱及大量练习。
恒等式 是对变量所有值都成立的方程。 若两个多项式 \(P(x)\) 与 \(Q(x)\) 恒等，写作 \(P(x) \equiv Q(x)\)， 则 \(P(x)\) 中每个 \(x\) 次幂的系数必须等于 \(Q(x)\) 中对应的系数。
这个原理就是 比较系数法 的基础。例如，若 \[ 2x^2 + (a-1)x + 5 \equiv 2x^2 + 3x + b, \] 则比较 \(x^1\) 的系数得 \(a-1 = 3\)，故 \(a = 4\)；比较常数项得 \(5 = b\)。
在 DSE 数学中，此技巧经常出现在卷一甲部(2) 及乙部，以及卷二 MC， 尤其涉及 未知常数 及 部分分式 的题目。
若两个多项式恒等，则 同类项（相同变量次幂）的系数相等。
比较系数前，务必确保多项式已化为 标准形式。 遗漏的项应视为系数 \(0\)。例如，\(x^3 + 2\) 应写成 \(x^3 + 0x^2 + 0x + 2\)。
若 \(x^2 + 5x + 6 \equiv (x + a)(x + b)\)，求 \(a\) 及 \(b\)。
解：
展开 RHS：
\[
(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab.
\]
与 \(x^2 + 5x + 6\) 比较系数：
\[
a + b = 5, \quad ab = 6.
\]
2 及 3 同时满足两式，故 \(a = 2, b = 3\)（或反之）。
答案： \(a = 2, b = 3\)（或 \(a = 3, b = 2\)）。
若 \(2x^3 - 3x + 1 \equiv Ax^3 + Bx^2 + Cx + D\)，求 \(A, B, C, D\)。
解：
将 LHS 写成所有次幂： \[ 2x^3 + 0x^2 - 3x + 1. \] 比较系数： \[ A = 2, \quad B = 0, \quad C = -3, \quad D = 1. \] 答案： \(A=2, B=0, C=-3, D=1\)。
若 \(x^2 + 6x + 11 \equiv (x + p)^2 + q\)，求 \(p\) 及 \(q\)。
解：
展开 RHS： \[ (x + p)^2 + q = x^2 + 2px + (p^2 + q). \] 比较系数： \[ 2p = 6 \Rightarrow p = 3, \quad p^2 + q = 11 \Rightarrow 9 + q = 11 \Rightarrow q = 2. \] 答案： \(p = 3, q = 2\)。
将 \(\displaystyle \frac{5x + 1}{(x-1)(x+2)}\) 表示为部分分式。
解：
设：
\[
\frac{5x + 1}{(x-1)(x+2)} \equiv \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}.
\]
整式乘以 \((x-1)(x+2)\)：
\[
5x + 1 \equiv A(x+2) + B(x-1).
\]
展开 RHS：
\[
5x + 1 \equiv (A+B)x + (2A - B).
\]
比较系数：
\[
A + B = 5, \quad 2A - B = 1.
\]
相加：\(3A = 6 \Rightarrow A = 2\)，则 \(B = 3\)。
答案： \(\displaystyle \frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+2}\)。
将 \(\displaystyle \frac{3x^2 + 2x + 1}{(x-1)(x+1)^2}\) 表示为部分分式。
解：
设：
\[
\frac{3x^2 + 2x + 1}{(x-1)(x+1)^2} \equiv \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}.
\]
整式乘以 \((x-1)(x+1)^2\)：
\[
3x^2 + 2x + 1 \equiv A(x+1)^2 + B(x-1)(x+1) + C(x-1).
\]
展开：
\[
3x^2 + 2x + 1 \equiv A(x^2 + 2x + 1) + B(x^2 - 1) + C(x - 1).
\]
\[
\equiv (A + B)x^2 + (2A + C)x + (A - B - C).
\]
比较系数：
\[
A + B = 3, \quad 2A + C = 2, \quad A - B - C = 1.
\]
由第一式：\(B = 3 - A\)。由第二式：\(C = 2 - 2A\)。
代入第三式：
\[
A - (3 - A) - (2 - 2A) = 1 \Rightarrow A - 3 + A - 2 + 2A = 1 \Rightarrow 4A - 5 = 1 \Rightarrow A = \frac{3}{2}.
\]
则 \(B = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}\)，且 \(C = 2 - 3 = -1\)。
答案： \(\displaystyle \frac{3}{2(x-1)} + \frac{3}{2(x+1)} - \frac{1}{(x+1)^2}\)。
运用比较系数法回答下列各题。
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基础练习： 比较系数法 – 恒等式问题的核心技巧