方程 只对变数的某些值（其解）成立，而 恒等式 对变数的 所有 值都成立。 混淆两者是 DSE 代数中常见的错误来源。本文清晰解释根本区别，展示如何辨识两者， 并示范如何透过展开、化简及比较系数来 证明恒等式。 你亦将学会如何在 DSE 卷一及卷二中避免常见错误。
在代数中，我们使用等号 \(=\) 连接两个表达式。然而，并非所有等式都是相同的。 存在两种根本不同的类型：
恒等式符号 \(\equiv\) 有时会代替 \(=\) 使用，以强调该陈述为恒等式。 在 DSE 中，你会遇到这两种类型，区分它们至关重要。
| 方面 | 方程 | 恒等式 |
|---|---|---|
| 真确性 | 只对特定值成立 | 对所有值成立 |
| 目标 | 求变量的值 | 证明两个表达式等价 |
| 符号 | \(=\) | \(\equiv\)（也常用 \(=\)） |
| 例子 | \(x + 5 = 8\) | \(x^2 - 9 \equiv (x+3)(x-3)\) |
方程 → 「对 某些 值相等」。
恒等式 → 「对 所有 值恒等」。
不要「解」恒等式！例如，若被要求证明 \((x+1)^2 = x^2 + 2x + 1\)，你不应求 \(x\) 的值。 相反，你应展开一边并展示它与另一边相同。解恒等式会得到 \(0 = 0\)，毫无意义。
要证明恒等式，你需要展示左边（LHS）与右边（RHS）等价。最常见的方法有：
在 DSE 卷一，总是从 较复杂的一边 开始，化简它使其与较简单的一边相同。 清楚写出「LHS =」及「RHS =」以展示你的思路。
证明 \((x+3)^2 - (x-2)^2 = 10x + 5\)。
解：
从 LHS 开始并展开：
\[
(x+3)^2 - (x-2)^2 = (x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 4x + 4).
\]
化简：
\[
x^2 + 6x + 9 - x^2 + 4x - 4 = 10x + 5.
\]
这与 RHS 相同，故恒等式得证。
答案： 得证。
证明 \(\displaystyle \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{2x}{x^2-1}\)（\(x \neq \pm 1\)）。
解：
从 LHS 开始并合并分数：
\[
\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{(x+1) + (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x}{x^2 - 1}.
\]
这与 RHS 相同。
答案： 得证。
已知 \(x^2 + 5x + 6 \equiv (x + a)(x + b)\)，求 \(a\) 及 \(b\)。
解：
展开 RHS： \[ (x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab. \] 与 \(x^2 + 5x + 6\) 比较系数： \[ a + b = 5, \quad ab = 6. \] 2 及 3 同时满足两式，故 \(a = 2, b = 3\)（或反之）。 答案： \(a = 2, b = 3\)（或 \(a = 3, b = 2\)）。
运用所学技巧回答下列各题。
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基础练习： 恒等式与方程 – 根本区别