在 DSE 卷一乙部，你经常会遇到结合了 线性方程 和 二次方程 的方程组。几何上，这代表求直线与抛物线（或圆）的交点。 本文教你使用 代入法 解这类方程组：将线性方程解出一个变量，代入二次方程， 然后解所得的二次方程。你将学习如何处理 两个交点、一个交点（相切）和没有交点 的情况。 内容包括逐步例题、应试技巧及大量练习。
学习目标
- 理解一个线性方程和一个二次方程组成的方程组的结构。
- 使用 代入法 解这类方程组（将线性表达式代入二次方程）。
- 将解诠释为 直线与曲线的交点。
- 处理有两个解、一个解（相切）和无实数解（判别式 < 0）的情况。
- 将这些技巧应用于 DSE 卷一乙部的题目。
引言
在 DSE 卷一乙部，你可能会被要求解像这样的方程组：
\[
\begin{cases}
y = x + 1 \quad \text{(线性)} \\
y = x^2 - 3x + 4 \quad \text{(二次)}
\end{cases}
\]
这代表求一条直线与一条抛物线的交点。方法很直接：
将线性方程代入二次方程，得到一个一元二次方程，然后求解。
实数解的数目（0、1 或 2）对应于交点的数目。
这项技巧亦在坐标几何问题中测试，你需要求直线与曲线的交点。掌握此技巧将有助你在乙部夺取分数。
方法：代入法
关键步骤
- 从线性方程中，用 \(x\) 表示 \(y\)（或反之）。
- 将此表达式代入二次方程。
- 化简得到一个一元二次方程。
- 解该二次方程（因式分解、配方法或公式）。
- 对每个 \(x\) 值，代回线性方程求对应的 \(y\) 值。
- 将解写成有序对 \((x, y)\)。
常见陷阱
代入时，确保 整个表达式 正确代入。使用括号避免正负号错误。
另外，记住判别式告诉你交点的数目：
\(b^2-4ac > 0\) → 两个交点；\(=0\) → 相切（一个交点）；\(<0\) → 没有交点。
例题（DSE 风格）
例题 1 – 两个交点
例题 1
解方程组：
\[
\begin{cases}
y = x + 1 \\
y = x^2 - 3x + 4
\end{cases}
\]
解：
将 \(y = x+1\) 代入二次方程：
\[
x + 1 = x^2 - 3x + 4
\]
移项：
\[
0 = x^2 - 4x + 3 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0
\]
因式分解：\((x-1)(x-3) = 0\) ⇒ \(x = 1\) 或 \(x = 3\)。
当 \(x=1\)：\(y = 1+1 = 2\)。
当 \(x=3\)：\(y = 3+1 = 4\)。
答案： \((1,2)\) 和 \((3,4)\)。
例题 2 – 没有交点
例题 2
解方程组：
\[
\begin{cases}
y = 2x + 1 \\
y = x^2 + x + 3
\end{cases}
\]
解：
代入：\(2x+1 = x^2 + x + 3\)
移项：\(x^2 - x + 2 = 0\)
判别式：\((-1)^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7 < 0\)。
没有实数解。
答案： 没有交点（无实数解）。
判别式与交点数
代入后，你得到一个二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\)。判别式 \(\Delta = b^2 - 4ac\) 告诉你：
- \(\Delta > 0\)： 两个相异实数解 → 两个交点。
- \(\Delta = 0\)： 一个重根实数解 → 直线与曲线相切（一个交点）。
- \(\Delta < 0\)： 没有实数解 → 直线与曲线没有交点。
这是常见的判断方法，无需完整求解即可知道交点数。
DSE 应试技巧 – 卷一乙部
关键策略
- 总是先将线性方程代入二次方程。
- 将所得的二次方程写成标准形式 \(ax^2+bx+c=0\)。
- 若题目要求交点，解二次方程并找出两个坐标。
- 若只问交点数，只需计算判别式。
- 相切问题：设判别式为零，解未知参数。
- 将答案代入两个原方程验算。
DSE 式练习题
解下列方程组，或判断交点数。
练习一 – 解方程组
- \(\begin{cases} y = x + 2 \\ y = x^2 - 2x \end{cases}\)
- \(\begin{cases} y = 3x - 1 \\ y = x^2 + x - 5 \end{cases}\)
- \(\begin{cases} y = 2x - 3 \\ y = x^2 - 4x + 1 \end{cases}\)
练习二 – 交点数
- 判断直线 \(y = x+1\) 与抛物线 \(y = x^2-2x+2\) 的交点数。
- 判断直线 \(y = 2x-3\) 与抛物线 \(y = x^2-4x+5\) 的交点数。
- 求 \(k\) 的值，使直线 \(y = kx+1\) 与抛物线 \(y = x^2-2x+3\) 相切。
练习三 – 混合
- \(\begin{cases} y = -x + 4 \\ y = x^2 - 2x + 1 \end{cases}\)
- 求直线 \(y = 2x\) 与圆 \(x^2 + y^2 = 20\) 的交点。（提示：将 \(y\) 代入圆方程。）
- 若直线 \(y = mx + 2\) 与抛物线 \(y = x^2 - 2x + 3\) 恰好有一个交点，求 \(m\)。
练习题解
练习一 解
- \(x+2 = x^2-2x \Rightarrow x^2-3x-2=0 \Rightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}\)。然后 \(y = x+2\)。交点：\(\left(\frac{3+\sqrt{17}}{2}, \frac{7+\sqrt{17}}{2}\right)\) 和 \(\left(\frac{3-\sqrt{17}}{2}, \frac{7-\sqrt{17}}{2}\right)\)。
- \(3x-1 = x^2+x-5 \Rightarrow x^2-2x-4=0 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{5}\)。然后 \(y = 3x-1\)。
- \(2x-3 = x^2-4x+1 \Rightarrow x^2-6x+4=0 \Rightarrow x = 3 \pm \sqrt{5}\)。
练习二 解
- \(x+1 = x^2-2x+2 \Rightarrow x^2-3x+1=0\)，判别式 \(9-4=5>0\) → 2 个交点。
- \(2x-3 = x^2-4x+5 \Rightarrow x^2-6x+8=0\)，判别式 \(36-32=4>0\) → 2 个交点。
- \(kx+1 = x^2-2x+3 \Rightarrow x^2-(k+2)x+2=0\)。相切条件：判别式 = 0：\((k+2)^2 - 8 = 0 \Rightarrow (k+2)^2 = 8 \Rightarrow k+2 = \pm 2\sqrt{2} \Rightarrow k = -2 \pm 2\sqrt{2}\)。
练习三 解
- \(-x+4 = x^2-2x+1 \Rightarrow x^2-x-3=0 \Rightarrow x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}\)。然后 \(y = -x+4\)。
- 代入 \(y=2x\) 入圆方程：\(x^2 + (2x)^2 = 20 \Rightarrow 5x^2 = 20 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2\)。当 \(x=2, y=4\)；当 \(x=-2, y=-4\)。交点：\((2,4)\) 和 \((-2,-4)\)。
- \(mx+2 = x^2-2x+3 \Rightarrow x^2-(m+2)x+1=0\)。相切：判别式 = 0：\((m+2)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (m+2)^2 = 4 \Rightarrow m+2 = \pm 2 \Rightarrow m = 0\) 或 \(m = -4\)。
9. 基础练习
点击下列链接查看基础练习
基础练习： 跨课题：联立方程 + 二次方程
复习清单
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代入法： 我能将线性方程代入二次方程。
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解二次方程： 我能解所得的二次方程。
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判别式解读： 我能用判别式判断交点数。
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相切问题： 我能设判别式为零来求未知参数。
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验算： 我总是代入原方程验证答案。