由 一个一次方程及一个二次方程 组成的方程组在 DSE 卷一甲部(2) 及乙部中经常出现。 几何上，解这类方程组等同於求一条直线与一条抛物线的 交点。 本文提供完整框架：使用 代入法 将方程组化為单一二次方程，求解， 并解读 判别式 以判断有两个、一个还是没有交点。 你亦将学会处理 参数问题，即给定交点数目的条件。 内容包括例题、应试技巧及练习。
学习目标
- 辨识由一个一次及一个二次方程组成的方程组。
- 使用 代入法 解这类方程组。
- 将解诠释为直线与曲线的 交点。
- 使用 判别式 判断交点的数目（0、1 或 2）。
- 解 DSE 风格的参数问题，即给定特定交点条件。
引言
DSE 中的联立方程组可能结合一个 一次方程 与一个
二次方程，例如：
\[
\begin{cases}
y = 2x + 1 \quad \text{(一次)} \\
y = x^2 - 3x + 4 \quad \text{(二次)}
\end{cases}
\]
一次方程可重新排列以用一个变量表示另一个，然后代入二次方程。所得的方程是一个
一元二次方程，我们求解它。每个解对应直线与曲线的一个交点。
这个课题是 跨课题整合 的经典例子：它结合了联立方程、二次方程、
判别式及坐标几何。
一般方法与策略
逐步方法
- 整理 一次方程以用一个变量表示另一个（通常是用 \(x\) 表示 \(y\)）。
- 将此表达式 代入 二次方程。
- 化简 得到一个一元二次方程。
- 解 该二次方程（因式分解、配方法或公式）。
- 对每个 \(x\) 值，代回 一次方程求对应的 \(y\)。
- 将解写成 有序对 \((x, y)\)。
常见陷阱
代入时要小心。若一次方程为 \(x = y + 2\)，必须代入 整个表达式 代替 \(x\)。
使用括号避免正负号错误。另外，不要忘记为每个解找出 两个坐标。
判别式与交点数目
代入后，我们得到形如 \(ax^2 + bx + c = 0\) 的二次方程。判别式 \(\Delta = b^2 - 4ac\)
告诉我们直线与曲线的交点数目：
- \(\Delta > 0\)： 两个相异实数解 → 直线与曲线相交于两点。
- \(\Delta = 0\)： 一个重根 → 直线与曲线相切（恰好接触一点）。
- \(\Delta < 0\)： 无实数解 → 直线与曲线不相交。
记忆辅助
将判别式想象成一个 「相遇探测器」：
正数 → 两次相遇；零 → 一次相遇（相切）；负数 → 没有相遇。
例题（DSE 风格）
例题 1 – 两个交点
例题 1
解方程组：
\[
\begin{cases}
y = x + 1 \\
y = x^2 - 3x + 4
\end{cases}
\]
解：
将 \(y = x+1\) 代入二次方程：
\[
x + 1 = x^2 - 3x + 4.
\]
移项：
\[
x^2 - 4x + 3 = 0.
\]
因式分解：
\[
(x-1)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 1 \text{ 或 } x = 3.
\]
当 \(x=1\)：\(y = 2\)。当 \(x=3\)：\(y = 4\)。
答案： \((1,2)\) 及 \((3,4)\)。
例题 2 – 一个交点（相切）
例题 2
解方程组：
\[
\begin{cases}
y = 2x - 1 \\
y = x^2 - 2x + 3
\end{cases}
\]
解：
代入：\(2x - 1 = x^2 - 2x + 3\)。
移项：\(x^2 - 4x + 4 = 0\)。
因式分解：\((x-2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2\)（重根）。
当 \(x=2\)：\(y = 3\)。
答案： \((2,3)\)（切点）。
例题 3 – 没有交点
例题 3
解方程组：
\[
\begin{cases}
y = 2x + 5 \\
y = x^2 + x + 6
\end{cases}
\]
解：
代入：\(2x + 5 = x^2 + x + 6 \Rightarrow x^2 - x + 1 = 0\)。
\(\Delta = 1 - 4 = -3 < 0\)。
没有实根，所以没有交点。
答案： 没有实交点。
例题 4 – 参数问题（相切条件）
例题 4
求 \(k\) 的值，使直线 \(y = x + k\) 与曲线 \(y = x^2 - 3x + 2\) 相切。
解：
代入：\(x + k = x^2 - 3x + 2\)。
移项：\(x^2 - 4x + (2 - k) = 0\)。
相切：\(\Delta = 0\)：
\[
(-4)^2 - 4(1)(2-k) = 0 \Rightarrow 16 - 8 + 4k = 0 \Rightarrow 8 + 4k = 0 \Rightarrow k = -2.
\]
答案： \(k = -2\)。
例题 5 – 参数问题（两个交点）
例题 5
求 \(m\) 的范围，使直线 \(y = 2x + m\) 与曲线 \(y = x^2 - 4x + 5\) 相交于两个相异点。
解：
代入：\(2x + m = x^2 - 4x + 5\)。
移项：\(x^2 - 6x + (5 - m) = 0\)。
两个相异交点：\(\Delta > 0\)：
\[
(-6)^2 - 4(1)(5 - m) > 0 \Rightarrow 36 - 20 + 4m > 0 \Rightarrow 16 + 4m > 0 \Rightarrow m > -4.
\]
答案： \(m > -4\)。
DSE 应试技巧 – 卷一甲部(2) 及 乙部
关键策略
- 总是先 整理一次方程 以分出 \(y\) 或 \(x\)。
- 小心代入，使用括号保留正负号。
- 将所得的二次方程写成标准形式 \(ax^2+bx+c=0\)。
- 若题目要求交点，完整求解并给出两个坐标。
- 若题目问 交点数目，使用判别式而无需完整求解。
- 参数问题：设定适当条件（\(\Delta > 0\)、\(\Delta = 0\) 或 \(\Delta < 0\)）并求解。
- 将答案代回两个原方程以作检查。
卷二 (MC)
- 快速代入并检查判别式以排除选项。
- 若选项为点，将每个点代入两个方程测试。
- 留意正负号错误 —— 这是常见的干扰项。
DSE 式练习题
解下列各方程组或求所需的值。
练习一 – 解方程组
- \(\begin{cases} y = x + 2 \\ y = x^2 - 2x \end{cases}\)
- \(\begin{cases} y = 3x - 1 \\ y = x^2 + x - 5 \end{cases}\)
- \(\begin{cases} y = -x + 4 \\ y = x^2 - 2x + 1 \end{cases}\)
练习二 – 判断交点数目
- 直线 \(y = x + 1\) 与曲线 \(y = x^2 - 2x + 2\)。
- 直线 \(y = 2x - 3\) 与曲线 \(y = x^2 - 4x + 5\)。
- 直线 \(y = 3x + 2\) 与曲线 \(y = x^2 - x + 5\)。
练习三 – 参数问题
- 求 \(k\) 使 \(y = x + k\) 与 \(y = x^2 - 3x + 5\) 相切。
- 求 \(m\) 的范围使 \(y = mx + 1\) 与 \(y = x^2 - 2x + 3\) 相交于两个相异点。
- 求 \(c\) 的范围使 \(y = x + c\) 与 \(y = x^2 + 2x + 4\) 不相交。
练习题解
练习一 解
- \(x+2 = x^2-2x \Rightarrow x^2-3x-2=0 \Rightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}\)。然后 \(y = x+2\)。交点：\(\left(\frac{3+\sqrt{17}}{2}, \frac{7+\sqrt{17}}{2}\right)\)、\(\left(\frac{3-\sqrt{17}}{2}, \frac{7-\sqrt{17}}{2}\right)\)。
- \(3x-1 = x^2+x-5 \Rightarrow x^2-2x-4=0 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{5}\)。然后 \(y = 3x-1\)。
- \(-x+4 = x^2-2x+1 \Rightarrow x^2-x-3=0 \Rightarrow x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}\)。然后 \(y = -x+4\)。
练习二 解
- \(x+1 = x^2-2x+2 \Rightarrow x^2-3x+1=0\)，\(\Delta = 9-4 = 5 > 0\) → 2 个交点。
- \(2x-3 = x^2-4x+5 \Rightarrow x^2-6x+8=0\)，\(\Delta = 36-32 = 4 > 0\) → 2 个交点。
- \(3x+2 = x^2-x+5 \Rightarrow x^2-4x+3=0\)，\(\Delta = 16-12 = 4 > 0\) → 2 个交点。
练习三 解
- \(x+k = x^2-3x+5 \Rightarrow x^2-4x+(5-k)=0\)。相切：\(\Delta = 0 \Rightarrow 16-4(5-k)=0 \Rightarrow 16-20+4k=0 \Rightarrow k=1\)。
- \(mx+1 = x^2-2x+3 \Rightarrow x^2-(m+2)x+2=0\)。两个相异：\(\Delta > 0 \Rightarrow (m+2)^2-8 > 0 \Rightarrow m+2 > 2\sqrt{2}\) 或 \(m+2 < -2\sqrt{2}\) \(\Rightarrow m > -2+2\sqrt{2}\) 或 \(m < -2-2\sqrt{2}\)。
- \(x+c = x^2+2x+4 \Rightarrow x^2+x+(4-c)=0\)。不相交：\(\Delta < 0 \Rightarrow 1-4(4-c) < 0 \Rightarrow 1-16+4c < 0 \Rightarrow 4c < 15 \Rightarrow c < \frac{15}{4}\)。
9. 基础练习
点击下列链接查看基础练习
基础练习： 跨课题：联立一次及二次方程
复习清单
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辨识方程组： 我能辨识由一个一次及一个二次方程组成的方程组。
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代入法： 我能整理一次方程并代入二次方程。
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解二次方程： 我能用适当方法解所得的方程。
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判别式： 我能用 \(\Delta = b^2-4ac\) 判断交点数目。
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参数问题： 我能建立并解相切、两个交点或不相交的条件。
-
验算： 我总是将答案代回原方程。