判别式 是一个强大的工具，能告诉你二次方程 的 根的性质，而无需实际求解。 有三种情况：（两个相异实根）、（一个重根）、 （无实根）。本文提供判别式的 完整解读， 包括其几何意义（与 x 轴的交点数目）、例题、常见陷阱及大量 DSE 风格练习。
对于二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\)（其中 \(a \neq 0\)），其解由二次公式给出： \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \] 根号下的表达式 \(b^2 - 4ac\) 称为 判别式， 通常以 \(\Delta\)（Delta）表示。它的值决定了根的 性质， 因为负数的平方根不是实数，而零的平方根是零。
在 DSE 数学中，判别式在卷一及卷二中经常使用。它帮助你在不解方程的情况下判断解的数目， 并且在涉及曲线相切及相交的问题中至关重要。
对于 \(ax^2 + bx + c = 0\)，判别式为：
\[ \Delta = b^2 - 4ac. \]
| 判别式 | 根的性质 | \(y = ax^2 + bx + c\) 的图像 |
|---|---|---|
| \(\Delta > 0\) | 两个相异实根 | 与 x 轴相交于两点 |
| \(\Delta = 0\) | 一个重根（或两个相等实根） | 与 x 轴相切于一点 |
| \(\Delta < 0\) | 无实根（复数根） | 不与 x 轴相交 |
将判别式想象成一个 “根探测器”：
正数 → 两个根（加减）。
零 → 一个根（重根）。
负数 → 无实根（负数的平方根）。
小心 \(b^2 - 4ac\) 的正负号。由于 \(b^2\) 总是非负，\(\Delta\) 的正负主要取决于 \(-4ac\)。 若 \(a\) 和 \(c\) 同号，则 \(-4ac\) 为负，\(\Delta\) 可能为负（若 \(|4ac| > b^2\)）。务必仔细计算。
判别式也告诉我们二次函数 \(y = ax^2 + bx + c\) 的 图像 信息：
这将代数与几何联系起来，在涉及直线与曲线相交的坐标几何问题中非常有用。
判断 \(2x^2 - 4x + 5 = 0\) 的根的性质。
解：
\(a = 2\)，\(b = -4\)，\(c = 5\)。
\(\Delta = (-4)^2 - 4(2)(5) = 16 - 40 = -24 < 0\)。
由于 \(\Delta < 0\)，方程有 无实根。
答案： 无实根。
求 \(k\) 使 \(x^2 + kx + 9 = 0\) 有重根。
解：
要有重根，\(\Delta = 0\)。
\(\Delta = k^2 - 4(1)(9) = k^2 - 36 = 0\)。
\(k^2 = 36 \Rightarrow k = \pm 6\)。
答案： \(k = 6\) 或 \(k = -6\)。
求 \(k\) 的范围，使 \(x^2 - 2x + k = 0\) 有两个相异实根。
解：
要有两个相异实根，\(\Delta > 0\)。
\(\Delta = (-2)^2 - 4(1)(k) = 4 - 4k > 0\)。
\(4 - 4k > 0 \Rightarrow 4 > 4k \Rightarrow k < 1\)。
答案： \(k < 1\)。
求 \(m\) 的范围，使 \(mx^2 + 2x + 3 = 0\) 无实根。
解：
要无实根，\(\Delta < 0\)。
\(\Delta = 2^2 - 4(m)(3) = 4 - 12m < 0\)。
\(4 - 12m < 0 \Rightarrow 4 < 12m \Rightarrow m > \frac{1}{3}\)。
（另外需要 \(m \neq 0\) 以保持为二次方程。）
答案： \(m > \frac{1}{3}\)。
证明直线 \(y = x + 2\) 与曲线 \(y = x^2 + 2x + 4\) 没有实交点。
解：
设 \(x + 2 = x^2 + 2x + 4\)。
\(x^2 + x + 2 = 0\)。
\(\Delta = 1^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7 < 0\)。
由于 \(\Delta < 0\)，没有实数解，所以直线与曲线不相交。
答案： 没有实交点。
运用判别式回答下列各题。