配方法 是一种强大的技巧，将二次函数由一般式 改写为 顶点式 。这能即时显示 顶点 的坐标、对称轴，以及抛物线的开口方向。 在 DSE 卷一甲部(2) 及乙部，你将被要求求最大值／最小值、绘制图像及解决优化问题。 本文提供完整的逐步指南，附例题、应试技巧及大量练习。
二次函数 是形如 \(y = ax^2 + bx + c\)（其中 \(a \neq 0\)）的函数。 其图像是一条 抛物线。若 \(a > 0\)，抛物线向上开口，顶点为 最低点。若 \(a < 0\)，抛物线向下开口，顶点为 最高点。
虽然一般式在某些情况下很方便，但 顶点式 \(y = a(x-h)^2 + k\) 提供更多信息。它即时告诉我们：
将一般式转为顶点式的过程称为 配方法。 本文将详细教授此技巧。
我们希望将 \(x^2 + bx\) 写成完全平方 \((x + p)^2\) 加上一个常数。 由于 \((x + p)^2 = x^2 + 2px + p^2\)，我们需要 \(2p = b\)，即 \(p = \frac{b}{2}\)。 然后我们加上并减去 \(p^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2\)。
当 \(a \neq 1\) 时，记得将减去的项乘以 \(a\)。一个常见错误是忘记这样做而导致常数项错误。 另外，当 \(x\) 的系数为负时，小心处理正负号。
将 \(y = x^2 - 6x + 5\) 表示为顶点式，并求顶点。
解：
\(-6\) 的一半是 \(-3\)，而 \((-3)^2 = 9\)。
加上并减去 \(9\)：
\[
y = x^2 - 6x + 9 - 9 + 5 = (x - 3)^2 - 4.
\]
顶点式：\(y = (x - 3)^2 - 4\)。
顶点：\((3, -4)\)。由于 \(a = 1 > 0\)，这是最低点。
答案： \(y = (x-3)^2 - 4\)，顶点 \((3, -4)\)。
将 \(y = 2x^2 + 8x + 3\) 表示为顶点式，并求顶点。
解：
从首两项抽出 \(2\)：
\[
y = 2(x^2 + 4x) + 3.
\]
在括号内配方：\(4\) 的一半是 \(2\)，\(2^2 = 4\)。
\[
y = 2(x^2 + 4x + 4 - 4) + 3 = 2(x + 2)^2 - 8 + 3 = 2(x + 2)^2 - 5.
\]
顶点式：\(y = 2(x + 2)^2 - 5\)。
顶点：\((-2, -5)\)。由于 \(a = 2 > 0\)，为最小值。
答案： \(y = 2(x+2)^2 - 5\)，顶点 \((-2, -5)\)。
将 \(y = -x^2 + 4x + 1\) 表示为顶点式，并求最大值。
解：
抽出 \(-1\)：
\[
y = -(x^2 - 4x) + 1.
\]
配方：\(-4\) 的一半是 \(-2\)，\((-2)^2 = 4\)。
\[
y = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 1 = -(x - 2)^2 + 4 + 1 = -(x - 2)^2 + 5.
\]
顶点式：\(y = -(x - 2)^2 + 5\)。
顶点：\((2, 5)\)。由于 \(a = -1 < 0\)，这是 最大值。
答案： 最大值为 \(5\)，在 \(x = 2\) 时取得。
对于 \(y = x^2 - 2x - 3\)，求 (a) 顶点，(b) 对称轴，(c) \(y\) 轴截距。
解：
配方：\(-2\) 的一半是 \(-1\)，\((-1)^2 = 1\)。
\[
y = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 3 = (x - 1)^2 - 4.
\]
(a) 顶点：\((1, -4)\)。
(b) 对称轴：\(x = 1\)。
(c) \(y\) 轴截距：设 \(x = 0\)，\(y = -3\)。
答案： 顶点 \((1, -4)\)，对称轴 \(x = 1\)，\(y\) 轴截距 \((0, -3)\)。
配方法最重要的应用之一是求二次函数的 最大值或最小值。 这对于 DSE 卷一乙部的优化问题至关重要。
对于 \(y = a(x-h)^2 + k\)：
售出 \(x\) 件物品的利润（以元为单位）为 \(P = -2x^2 + 40x - 100\)。 求使利润最大的物品数量及最大利润。
解：
抽出 \(-2\)：
\[
P = -2(x^2 - 20x) - 100.
\]
配方：\(-20\) 的一半是 \(-10\)，\((-10)^2 = 100\)。
\[
P = -2(x^2 - 20x + 100 - 100) - 100 = -2(x - 10)^2 + 200 - 100 = -2(x - 10)^2 + 100.
\]
由于 \(a = -2 < 0\)，这是最大值，在 \(x = 10\) 时取得。
答案： \(10\) 件物品，最大利润 \$\(100\)。
将每个二次函数表示为顶点式，并写出顶点及其性质（最大或最小）。
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基础练习： 配方法 – 二次函数顶点完全指南