代数恒等式是节省展开及因式分解时间的捷径。在 DSE 数学中，有三个恒等式反覆出现： 平方差 、 完全平方 ，以及 立方和／差 。 本文完整重温每个恒等式，展示如何辨识它们，示范其在 展开及因式分解 中的应用，并包含 DSE 应试贴士、常见陷阱及大量练习。
代数恒等式 是对所涉及变量的所有值都成立的方程。与普通方程不同， 你可以代入任何值，陈述仍然成立。在 DSE 数学中，三个恒等式反复测试：
这些恒等式可用於两个方向：展开（由因式形式到展开形式）及 因式分解（由展开形式回到因式形式）。两个方向的掌握对 DSE 都至关重要。
\[ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \]
因式分解 \(9x^2 - 16\)。
解：
\(9x^2 = (3x)^2\)，\(16 = 4^2\)，所以： \[ 9x^2 - 16 = (3x + 4)(3x - 4). \] 答案： \((3x+4)(3x-4)\)。
完全因式分解 \(x^4 - 81\)。
解：
\(x^4 = (x^2)^2\)，\(81 = 9^2\)，所以： \[ x^4 - 81 = (x^2 + 9)(x^2 - 9). \] 但 \(x^2 - 9 = (x+3)(x-3)\)，所以： \[ x^4 - 81 = (x^2 + 9)(x+3)(x-3). \] 答案： \((x^2+9)(x+3)(x-3)\)。
切勿 混淆 \(a^2 - b^2\) 与 \((a-b)^2\)。另外，在实数范围内， \(a^2 + b^2\) 没有 因式分解恒等式。
\[ a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2, \quad a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 \]
因式分解 \(4x^2 - 12x + 9\)。
解：
\(4x^2 = (2x)^2\)，\(9 = 3^2\)，中间项 \(-12x = -2(2x)(3)\)，所以： \[ 4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2. \] 答案： \((2x-3)^2\)。
因式分解 \(18x^2 + 12x + 2\)。
解：
提取公因式 2：\(2(9x^2 + 6x + 1)\)。
现在 \(9x^2 = (3x)^2\)，\(1=1^2\)，\(6x=2(3x)(1)\)，所以：
\[
18x^2 + 12x + 2 = 2(3x+1)^2.
\]
答案： \(2(3x+1)^2\)。
务必检查中间项！例如，\(x^2 + 4x + 4\) 是完全平方，但 \(x^2 + 5x + 4\) 不是。 验证中间项是否等於 \(2ab\)。
\[ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \] \[ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \]
「SOAP」：Same sign（同号）、
Opposite sign（异号）、Always
Positive（永远正号）。
对於 \(a^3+b^3\)：\((a+b)\) 中的符号与原式相同（+），
\((a^2-ab+b^2)\) 的中间项符号相反（−），末项永远正号（+）。\(a^3-b^3\) 同理。
因式分解 \(27x^3 - 8\)。
解：
\(27x^3 = (3x)^3\)，\(8 = 2^3\)，所以： \[ 27x^3 - 8 = (3x - 2)\bigl((3x)^2 + (3x)(2) + 2^2\bigr) = (3x - 2)(9x^2 + 6x + 4). \] 答案： \((3x-2)(9x^2+6x+4)\)。
因式分解 \(8x^3 + 27\)。
解：
\(8x^3 = (2x)^3\)，\(27 = 3^3\)，所以： \[ 8x^3 + 27 = (2x + 3)\bigl((2x)^2 - (2x)(3) + 3^2\bigr) = (2x + 3)(4x^2 - 6x + 9). \] 答案： \((2x+3)(4x^2-6x+9)\)。
最常见的错误是记错二次因式中间项的符号。 对於 \(a^3 - b^3\)，二次因式是 \(a^2 + ab + b^2\)（中间为 正号）。 对於 \(a^3 + b^3\)，则是 \(a^2 - ab + b^2\)（中间为 负号）。 记住 SOAP！
在 DSE 中，你可能需要在同一题中使用多於一个恒等式。一般策略是：
完全因式分解 \(2x^4 - 32\)。
解：
公因式 2： \[ 2(x^4 - 16). \] 平方差： \[ 2(x^2 - 4)(x^2 + 4). \] 进一步因式分解 \(x^2 - 4\)： \[ 2(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4). \] 答案： \(2(x-2)(x+2)(x^2+4)\)。
完全因式分解下列各代数式。
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基础练习： 三大代数恒等式：平方差、完全平方及立方和／差