本文涵盖 一元二次方程的根的性质—— 这是 DSE 卷一甲部（2）及乙部经常出现的进阶课题，占 4–7 分。 你将学习 两根之和与两根之积、如何 由给定根建构二次方程、如何运用根的特性解 参数问题， 以及如何运用判别式、两根之和及两根之积 分析根的符号。 文章包括逐步例题、DSE 应试技巧、练习题。 这些是 高阶技能，能帮助你在 DSE 考试中取得佳绩。
完成本文后，你应能够：
一元二次方程的根的性质 每年 都在 DSE 卷一甲部（2）及乙部出现。题目可能要求你：
这些是高阶技能，能帮助你在考试中夺取高分。
根的性质的题目通常以 短答题 形式出现在甲部（2），每题 3–4 分；在乙部则以 长题目 形式出现，每题 5–7 分。
对于二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，其根为 \( \alpha \) 及 \( \beta \)：
这两个公式可由因式分解推导：
两根之和：\( -\frac{b}{a} \) | 两根之积：\( \frac{c}{a} \)
题目：求 \( 2x^2 - 5x + 3 = 0 \) 的两根之和及两根之积。
\( a = 2 \)，\( b = -5 \)，\( c = 3 \)
\( \alpha + \beta = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2} \)
\( \alpha\beta = \frac{3}{2} \)
答案：两根之和 = \( \frac{5}{2} \)，两根之积 = \( \frac{3}{2} \)
若 \( \alpha \) 及 \( \beta \) 为两根，则二次方程为：
题目：建构一个以 \( 3 \) 及 \( -2 \) 为根的二次方程。
\( \alpha + \beta = 3 + (-2) = 1 \)
\( \alpha\beta = 3 \times (-2) = -6 \)
\( x^2 - (1)x + (-6) = 0 \)
答案：\( x^2 - x - 6 = 0 \)
对称式 是指交换 \( \alpha \) 及 \( \beta \) 后保持不变的表达式。 它们可用 \( \alpha + \beta \) 及 \( \alpha\beta \) 来计算。
题目：若 \( \alpha \) 及 \( \beta \) 是 \( x^2 - 4x + 2 = 0 \) 的根，求 \( \alpha^2 + \beta^2 \)。
\( \alpha + \beta = 4 \)，\( \alpha\beta = 2 \)
\( \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 4^2 - 2(2) = 16 - 4 = 12 \)
答案：\( 12 \)
参数问题涉及运用两根之和与两根之积来求二次方程中的未知系数。
题目：\( x^2 + kx + 6 = 0 \) 的两根为 \( 2 \) 及 \( 3 \)。求 \( k \)。
\( \alpha + \beta = 2 + 3 = 5 = -k \) → \( k = -5 \)
\( \alpha\beta = 2 \times 3 = 6 \) ✓
答案：\( k = -5 \)
运用判别式（\( \Delta \)）、两根之和（\( S \)）及两根之积（\( P \)）， 我们可以在不解方程的情况下判断根的符号。
| 条件 | 根的符号 |
|---|---|
| \( \Delta \ge 0 \)，\( S > 0 \)，\( P > 0 \) | 两根均为正数 |
| \( \Delta \ge 0 \)，\( S < 0 \)，\( P > 0 \) | 两根均为负数 |
| \( \Delta \ge 0 \)，\( P < 0 \) | 一正一负 |
必须先检查 \( \Delta \ge 0 \)！若方程没有实根（\( \Delta < 0 \)），符号分析便没有意义。
题目：判断 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) 的根的符号。
\( \Delta = 25 - 24 = 1 > 0 \)（两个实根）
\( S = 5 > 0 \)，\( P = 6 > 0 \)
答案：两根均为正数。
题目：求 \( 3x^2 + 7x - 2 = 0 \) 的两根之和及两根之积。
\( a = 3 \)，\( b = 7 \)，\( c = -2 \)
\( \alpha + \beta = -\frac{7}{3} \)
\( \alpha\beta = -\frac{2}{3} \)
答案：两根之和 = \( -\frac{7}{3} \)，两根之积 = \( -\frac{2}{3} \)
题目：建构一个以 \( \frac{1}{2} \) 及 \( -3 \) 为根的二次方程。
\( \alpha + \beta = \frac{1}{2} + (-3) = -\frac{5}{2} \)
\( \alpha\beta = \frac{1}{2} \times (-3) = -\frac{3}{2} \)
\( x^2 - (-\frac{5}{2})x + (-\frac{3}{2}) = 0 \)
乘以 2：\( 2x^2 + 5x - 3 = 0 \)
答案：\( 2x^2 + 5x - 3 = 0 \)
题目：若 \( x^2 - kx + 12 = 0 \) 的其中一个根是 4，求另一个根及 \( k \) 的值。
设两根为 \( 4 \) 及 \( \beta \)。
\( 4 \times \beta = 12 \) → \( \beta = 3 \)
\( 4 + 3 = 7 = k \)
答案：另一个根 = \( 3 \)，\( k = 7 \)
题目 1 MC
若 \( \alpha \) 及 \( \beta \) 是 \( x^2 - 6x + 4 = 0 \) 的根，求 \( \alpha + \beta \)。
A. \( -6 \) B. \( -4 \) C. \( 4 \) D. \( 6 \)
题目 2 MC
若 \( \alpha \) 及 \( \beta \) 是 \( 2x^2 + 5x - 3 = 0 \) 的根，求 \( \alpha\beta \)。
A. \( -\frac{3}{2} \) B. \( -\frac{5}{2} \) C. \( \frac{3}{2} \) D. \( \frac{5}{2} \)
题目 3 短答
建构一个以 \( -2 \) 及 \( 5 \) 为根的二次方程。
题目 4 短答
若 \( \alpha \) 及 \( \beta \) 是 \( x^2 - 3x + 1 = 0 \) 的根，求 \( \alpha^2 + \beta^2 \)。
题目 5 MC
关于 \( x^2 + 4x + 3 = 0 \) 的根，以下哪项正确？
A. 两根均为正数 B. 两根均为负数 C. 一正一负 D. 没有实根
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基础练习： 一元二次方程｜根的性质（两根之和、两根之积及判别式）