在 DSE 数学中，你经常被要求解二次方程并使用其根。但 逆向运算 —— 即已知根而建立二次方程 —— 又如何呢？这是卷一甲部(2) 及卷二 MC 的常见题型， 亦出现于涉及 参数关系 的问题中。 本文教你如何运用 根的和及根的积 建立方程 ，以及如何处理 分数、 根式及参数根。内容包括例题、应试技巧及大量练习。
通常我们解二次方程并求其根。逆向运算 是从根出发建立方程。这可以通过韦达定理实现：
若二次方程的根为 \(\alpha\) 和 \(\beta\)，则可写成：
\[ x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0. \]
若我们希望首项系数为 \(a\)（而非 1），只需整式乘以 \(a\)： \[ a\bigl(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta\bigr) = 0. \] 在 DSE 中，惯例是给出 整数系数 的方程，所以我们通常选择 \(a\) 以清除任何分数或根式。
依下列步骤：
建立根为 2 和 5 的二次方程。
解：
和 \(= 2 + 5 = 7\)。
积 \(= 2 \times 5 = 10\)。
方程：
\[
x^2 - 7x + 10 = 0.
\]
答案： \(x^2 - 7x + 10 = 0\)。
建立根为 \(\frac{1}{2}\) 和 \(-\frac{1}{3}\) 的二次方程。
解：
和 \(= \frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}\)。
积 \(= \frac{1}{2} \times \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{6}\)。
方程：
\[
x^2 - \frac{1}{6}x - \frac{1}{6} = 0.
\]
乘以 6 得整数系数：
\[
6x^2 - x - 1 = 0.
\]
答案： \(6x^2 - x - 1 = 0\)。
建立根为 \(1+\sqrt{2}\) 和 \(1-\sqrt{2}\) 的二次方程。
解：
和 \(= (1+\sqrt{2}) + (1-\sqrt{2}) = 2\)。
积 \(= (1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2}) = 1 - 2 = -1\)。
方程：
\[
x^2 - 2x - 1 = 0.
\]
答案： \(x^2 - 2x - 1 = 0\)。
常见的 DSE 题目给出 \(ax^2 + bx + c = 0\) 的根为 \(\alpha\) 和 \(\beta\)，并要求你建立一个新方程， 其根与 \(\alpha\) 及 \(\beta\) 相关。 例如：\(2\alpha, 2\beta\)；\(\alpha+1, \beta+1\)；\(\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}\)； \(\alpha^2, \beta^2\)。
策略是：利用原方程的和与积计算新的和与新的积，然后套用 \(x^2 - (\text{新和})x + (\text{新积}) = 0\)。
\(x^2 - 4x + 1 = 0\) 的根为 \(\alpha\) 和 \(\beta\)。建立根为 \(2\alpha\) 和 \(2\beta\) 的方程。
解：
由已知方程：\(\alpha + \beta = 4\)，\(\alpha\beta = 1\)。
新和 \(= 2\alpha + 2\beta = 2(\alpha + \beta) = 8\)。
新积 \(= (2\alpha)(2\beta) = 4\alpha\beta = 4\)。
新方程：
\[
x^2 - 8x + 4 = 0.
\]
答案： \(x^2 - 8x + 4 = 0\)。
\(2x^2 + 5x - 3 = 0\) 的根为 \(\alpha\) 和 \(\beta\)。建立根为 \(\frac{1}{\alpha}\) 和 \(\frac{1}{\beta}\) 的方程。
解：
由已知方程：\(\alpha + \beta = -\frac{5}{2}\)，\(\alpha\beta = -\frac{3}{2}\)。
新和：
\[
\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \frac{-\frac{5}{2}}{-\frac{3}{2}} = \frac{5}{3}.
\]
新积：
\[
\frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha\beta} = -\frac{2}{3}.
\]
新方程：
\[
x^2 - \frac{5}{3}x - \frac{2}{3} = 0.
\]
乘以 3：
\[
3x^2 - 5x - 2 = 0.
\]
答案： \(3x^2 - 5x - 2 = 0\)。
\(x^2 + 3x - 2 = 0\) 的根为 \(\alpha\) 和 \(\beta\)。建立根为 \(\alpha^2\) 和 \(\beta^2\) 的方程。
解：
由已知方程：\(\alpha + \beta = -3\)，\(\alpha\beta = -2\)。
新和：
\[
\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (-3)^2 - 2(-2) = 9 + 4 = 13.
\]
新积：
\[
\alpha^2\beta^2 = (\alpha\beta)^2 = (-2)^2 = 4.
\]
新方程：
\[
x^2 - 13x + 4 = 0.
\]
答案： \(x^2 - 13x + 4 = 0\)。
有些 DSE 题目将建立方程与参数结合。例如，你被告知根为 \(k\) 和 \(k+1\)， 且方程必须满足某些额外条件（例如根的积为 12）。然后你求 \(k\)。
一个二次方程的根为 \(k\) 和 \(k+3\)，且根的积为 10。 求 \(k\) 并建立该方程。
解：
积 \(= k(k+3) = 10 \Rightarrow k^2 + 3k - 10 = 0\)。
因式分解：\((k+5)(k-2) = 0 \Rightarrow k = -5\) 或 \(k = 2\)。
情况 1：\(k = 2\)。 根为 2 和 5。方程：\(x^2 - 7x + 10 = 0\)。
情况 2：\(k = -5\)。 根为 \(-5\) 和 \(-2\)。方程：\(x^2 + 7x + 10 = 0\)。
答案： \(k=2\) 时 \(x^2-7x+10=0\)，或 \(k=-5\) 时 \(x^2+7x+10=0\)。
\(x^2 - kx + 12 = 0\) 的一个根为 3。求另一根及 \(k\) 的值。
解：
设两根为 \(\alpha = 3\) 及 \(\beta\)。
积 \(= 3\beta = 12 \Rightarrow \beta = 4\)。
和 \(= 3 + 4 = 7 = -\frac{-k}{1} = k\)。
答案： 另一根 \(= 4\)，\(k = 7\)。
方程是 \(x^2 - (\text{和})x + (\text{积}) = 0\)，不是 \(x^2 + (\text{和})x + (\text{积}) = 0\)。记住和前面有负号。
为每组根建立二次方程，并回答相关问题。
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基础练习： 由已知根建立二次方程（逆向运算）