二次方程 的解（根）有直接的图像意义： 它们就是抛物线 的 x 轴截距。 本文探讨这个基本关系，说明 判别式 如何决定 x 轴截距的数目 （0、1 或 2 个），以及 顶点式 如何即时揭示顶点及对称轴。你将学会绘画二次函数图像、从图像读取资讯， 并解决连结代数与几何的 DSE 题目。内容包括例题、应试贴士及练习题。
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二次方程与二次函数图像的关系（x 轴截距）
基础练习
回答下列各題。
- 求 \(y = x^2 - 2x - 8\) 的 x 軸截距。
- 求 \(y = 3x^2 - 12\) 的 x 軸截距。
- 判斷 \(y = x^2 + 6x + 9\) 的 x 軸截距數目。
- 判斷 \(y = 2x^2 - 4x + 3\) 的 x 軸截距數目。
- 求 \(y = x^2 - 6x + 5\) 的頂點及對稱軸。
- 求 x 軸截距為 \(-1\) 及 \(3\)，且經過 \((0, -6)\) 的拋物線方程。
- 求 \(k\) 使 \(y = x^2 - 4x + k\) 與 x 軸相切。
- 求 \(m\) 的範圍使 \(y = 2x^2 + 3x + m\) 沒有 x 軸截距。
- 圖像 \(y = ax^2 + bx + c\) 的頂點為 \((2, -3)\)，且經過 \((0, 1)\)。求該方程。
- 求 \(y = x^2 - 4x - 5\) 的 x 軸截距。
答案
1. \((-2,0)\) 及 \((4,0)\)
2. \((-2,0)\) 及 \((2,0)\)
3. 1 個（重根）
4. 0 個
5. 頂點 \((3,-4)\)，對稱軸 \(x=3\)
6. \(y = 2(x+1)(x-3) = 2x^2 - 4x - 6\)
7. \(k = 4\)
8. \(m > \frac{9}{8}\)
9. \(y = (x-2)^2 - 3 = x^2 - 4x + 1\)
10. \((-1,0)\) 及 \((5,0)\)