学习二次方程的根的和及根的积定理（韦达定理）。无需解方程即可计算对称函数。DSE 卷一及卷二 MC 必备。对于二次方程 ，若其根为 和 ，则 根的和 为 ， 根的积 为 。这些称为 韦达定理。它们让你能计算如 、 等表达式，甚至建立新的二次方程， 而 无需解原方程。 本文涵盖理论、例题、常见陷阱及 DSE 风格练习。
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“根的和”及“根的积”定理
基础练习
回答下列各题。
- 对于 \(x^2 - 8x + 15 = 0\)，求 \(\alpha+\beta\) 及 \(\alpha\beta\)。
- 对于 \(2x^2 + 5x - 3 = 0\)，求 \(\alpha^2 + \beta^2\)。
- 对于 \(x^2 - 3x - 4 = 0\)，求 \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\)。
- \(x^2 - 5x + 6 = 0\) 的根为 \(\alpha\) 和 \(\beta\)。建立一个根为 \(\alpha-1\) 和 \(\beta-1\) 的方程。
- \(3x^2 - 4x + 1 = 0\) 的根为 \(\alpha\) 和 \(\beta\)。建立一个根为 \(3\alpha\) 和 \(3\beta\) 的方程。
- 方程 \(x^2 + kx + 12 = 0\) 的根之和为 \(8\)。求 \(k\)。
- 方程 \(3x^2 - 2x + c = 0\) 的根之积为 \(\frac{1}{3}\)。求 \(c\)。
- 对于 \(x^2 - 6x + 4 = 0\)，求 \(\alpha^3 + \beta^3\)。
- 方程 \(x^2 - px + 8 = 0\) 的根为 \(\alpha\) 和 \(\beta\)，且 \(\alpha^2 + \beta^2 = 20\)。求 \(p\)（假设 \(p > 0\)）。
- \(x^2 + 2x - 3 = 0\) 的根为 \(\alpha\) 和 \(\beta\)。建立一个根为 \(\frac{1}{\alpha}\) 和 \(\frac{1}{\beta}\) 的方程。
答案
1. 和 \(= 8\)，积 \(= 15\)
2. \(\frac{25}{4} + 3 = \frac{37}{4}\)
3. \(-\frac{3}{4}\)
4. \(x^2 - 3x + 2 = 0\)
5. \(x^2 - 4x + 3 = 0\)
6. \(k = -8\)
7. \(c = 1\)
8. \(144\)
9. \(p = 6\)
10. \(x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} = 0\)，或 \(3x^2 - 2x - 1 = 0\)