在 DSE 卷一乙部，你经常会遇到结合了 线性方程 和 二次方程 的方程组。几何上，这代表求直线与抛物线（或圆）的交点。 本文教你使用 代入法 解这类方程组：将线性方程解出一个变量，代入二次方程， 然后解所得的二次方程。你将学习如何处理 两个交点、一个交点（相切）和没有交点 的情况。 内容包括逐步例题、应试技巧及大量练习。
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跨课题：联立方程 + 二次方程
基础练习
解下列方程组或求所需值，答案在后。
- \(\begin{cases} y = x - 1 \\ y = x^2 - 3x + 2 \end{cases}\)
- \(\begin{cases} y = 2x + 3 \\ y = x^2 + x - 1 \end{cases}\)
- \(\begin{cases} y = -x + 2 \\ y = x^2 + 2x + 1 \end{cases}\)
- 判断直线 \(y = 3x-2\) 与抛物线 \(y = x^2-2x+4\) 的交点数。
- 判断直线 \(y = x+5\) 与抛物线 \(y = x^2-3x+7\) 的交点数。
- 求 \(k\) 使直线 \(y = kx-3\) 与抛物线 \(y = x^2-4x+5\) 相切。
- 求直线 \(y = x+3\) 与圆 \(x^2 + y^2 = 25\) 的交点。
- 求 \(m\) 使直线 \(y = mx+1\) 与抛物线 \(y = x^2-2x+2\) 恰好有一个交点。
- \(\begin{cases} y = 2x - 5 \\ y = x^2 - 6x + 10 \end{cases}\)
- 若直线 \(y = x + c\) 与抛物线 \(y = x^2 - 2x + 4\) 相切，求 \(c\)。
基础练习 答案
1. \((1,0)\) 和 \((3,2)\)
2. \((-1,1)\) 和 \((4,11)\)
3. \((\frac{-3+\sqrt{5}}{2}, \frac{7-\sqrt{5}}{2})\) 和 \((\frac{-3-\sqrt{5}}{2}, \frac{7+\sqrt{5}}{2})\)
4. 0（判别式 < 0）
5. 2（判别式 > 0）
6. \(k = 2 \pm 2\sqrt{2}\)
7. \((1,4)\) 和 \((-4,-1)\)
8. \(m = -2 \pm \sqrt{2}\)
9. \((3,1)\) 和 \((5,5)\)
10. \(c = \frac{7}{4}\)