在 DSE 数学中，你经常被要求解二次方程并使用其根。但 逆向运算 —— 即已知根而建立二次方程 —— 又如何呢？这是卷一甲部(2) 及卷二 MC 的常见题型， 亦出现于涉及 参数关系 的问题中。 本文教你如何运用 根的和及根的积 建立方程 ，以及如何处理 分数、 根式及参数根。内容包括例题、应试技巧及大量练习。
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由已知根建立二次方程（逆向运算）
基础练习
回答下列各题。
- 根为 1 和 \(-6\)。
- 根为 \(\frac{1}{4}\) 和 \(\frac{3}{2}\)。
- 根为 \(-3+\sqrt{5}\) 和 \(-3-\sqrt{5}\)。
- \(x^2 - 7x + 10 = 0\) 的根为 \(\alpha, \beta\)。建立根为 \(\alpha-1, \beta-1\) 的方程。
- \(3x^2 - 4x + 1 = 0\) 的根为 \(\alpha, \beta\)。建立根为 \(3\alpha, 3\beta\) 的方程。
- \(x^2 - 2x - 4 = 0\) 的根为 \(\alpha, \beta\)。建立根为 \(\alpha^2, \beta^2\) 的方程。
- \(x^2 + 5x + 2 = 0\) 的根为 \(\alpha, \beta\)。建立根为 \(\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}\) 的方程。
- 根为 \(k\) 和 \(k-2\)，积为 8。求 \(k\)。
- \(x^2 + kx + 8 = 0\) 的一个根为 \(-2\)。求 \(k\) 及另一根。
- \(x^2 - ax + b = 0\) 的根为 \(\alpha, \beta\)，且 \(\alpha+\beta = -3\)、\(\alpha\beta = -2\)。求 \(a, b\)。
答案
1. \(x^2 + 5x - 6 = 0\)
2. \(8x^2 - 14x + 3 = 0\)
3. \(x^2 + 6x + 4 = 0\)
4. \(x^2 - 5x + 4 = 0\)
5. \(x^2 - 4x + 3 = 0\)
6. \(x^2 - 12x + 16 = 0\)
7. \(2x^2 + 5x + 1 = 0\)
8. \(k = 4\) 或 \(k = -2\)
9. \(k = 6\)，另一根 \(= -4\)
10. \(a = -3, b = -2\)