本文涵盖进阶 圆的性质，包括 切线 及三角形的 四心——这是 DSE 卷一甲部（2）及乙部经常出现的高频课题， 占 4–7 分。你将学习 切线定理 （切线垂直于半径、由外点引两切线长度相等、交错弓形定理）， 以及三角形的 外心、内心、重心及垂心 的定义与性质， 并应用于圆几何问题。文章包括逐步例题、DSE 应试技巧、练习题。 这些是 高阶技能，能帮助你夺取佳绩。
完成本文后，你应能够：
切线及三角形的四心 每年 都在 DSE 卷一甲部（2）及乙部出现。题目可能要求你：
这些是高阶技能，能帮助你在考试中夺取高分。
切线的题目通常以 短答题 形式出现在甲部（2），每题 3–4 分；在乙部则以 较长证明题 形式出现，每题 5–7 分。四心常与圆定理结合考核。
圆的切线在切点处 垂直 于半径。
若 \( OT \) 为半径，\( PT \) 为切线且切点为 \( T \)，则 \( OT \perp PT \)。
由圆外一点引两条切线，其长度 相等。
若 \( PA \) 及 \( PB \) 为由 \( P \) 引向圆的两条切线，则 \( PA = PB \)。
切线与弦的夹角等于 交错弓形 上的圆周角（即弦在圆周另一侧所对的角）。
若 \( PT \) 为切线，切点为 \( T \)，\( TA \) 为弦，则 \( \angle PTA = \angle TBA \)，其中 \( B \) 为圆上交错弓形上的任意点。
交错弓形定理：切线与弦的夹角等于对面弧上的圆周角（「交错」的弓形）。
题目：在图中，\( PT \) 为圆在 \( T \) 的切线，\( OT = 5 \) cm，\( OP = 13 \) cm。求 \( PT \) 的长度。
由切线与半径垂直定理，\( OT \perp PT \)，所以三角形 \( OTP \) 为直角三角形。
运用毕氏定理：\( OP^2 = OT^2 + PT^2 \) → \( 13^2 = 5^2 + PT^2 \) → \( PT^2 = 169 - 25 = 144 \) → \( PT = 12 \) cm。
答案：\( 12 \) cm。
题目：在图中，\( PA \) 为切线，切点为 \( A \)。\( \angle PAB = 40^\circ \)。求 \( \angle ACB \)。
由交错弓形定理，\( \angle PAB = \angle ACB \)（交错弓形上的圆周角）。
因此 \( \angle ACB = 40^\circ \)。
答案：\( 40^\circ \)。
三角形有四种重要的心，各有不同的定义及几何意义：
| 名称 | 定义 | 相关圆 |
|---|---|---|
| 外心 | 三边垂直平分线的交点 | 外接圆（通过三个顶点） |
| 内心 | 三条角平分线的交点 | 内切圆（与三边相切） |
| 重心 | 三条中线的交点 | — |
| 垂心 | 三条高线的交点 | — |
切勿混淆外心（与顶点等距）与内心（与边等距）。外心是 外接圆 的圆心，内心是 内切圆 的圆心。
题目：三角形 \( ABC \) 的顶点为 \( A(2,3) \)、\( B(4,7) \)、\( C(6,3) \)。求外心。
外心是垂直平分线的交点。由于 \( A \) 和 \( C \) 的 y 坐标相同，\( AC \) 的垂直平分线为 \( x = \frac{2+6}{2}=4 \)。
\( AB \) 的中点为 \( (3,5) \)，\( AB \) 的斜率为 \( \frac{7-3}{4-2} = 2 \)，垂直平分线斜率为 \( -\frac{1}{2} \)。方程：\( y-5 = -\frac{1}{2}(x-3) \)。当 \( x=4 \)，\( y-5 = -\frac{1}{2}(1) = -0.5 \) → \( y=4.5 \)。所以外心为 \( (4, 4.5) \)。
答案：\( (4, 4.5) \)。
题目：在三角形 \( ABC \) 中，\( \angle A = 60^\circ \)，\( \angle B = 70^\circ \)。设 \( I \) 为内心，求 \( \angle AIC \)。
内心是角平分线的交点。在三角形 \( AIC \) 中，\( \angle IAC = \frac{1}{2}\angle A = 30^\circ \)，\( \angle ICA = \frac{1}{2}\angle C \)。先求 \( \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 70^\circ = 50^\circ \)，所以 \( \angle ICA = 25^\circ \)。
因此 \( \angle AIC = 180^\circ - 30^\circ - 25^\circ = 125^\circ \)。
答案：\( 125^\circ \)。
题目：三角形 \( ABC \) 的顶点为 \( (1,2) \)、\( (3,6) \)、\( (5,4) \)。求重心。
重心是三个顶点坐标的平均值：\( \left( \frac{1+3+5}{3}, \frac{2+6+4}{3} \right) = \left( \frac{9}{3}, \frac{12}{3} \right) = (3,4) \)。
答案：\( (3,4) \)。
在 DSE 题目中，切线与四心经常结合出现。例如，内心是内切圆的圆心，内切圆与三边相切；外心是外接圆的圆心，外接圆经过三个顶点。
题目：在三角形 \( ABC \) 中，内切圆与 \( AB \) 相切于 \( D \)。已知 \( AD = 4 \)，\( DB = 6 \)，\( AC = 8 \)，求 \( BC \) 的长度。
由外点引切线长度相等：从 \( A \) 引的切线相等，所以 \( AD = AE = 4 \)（其中 \( E \) 为 \( AC \) 上的切点）。因 \( AC = 8 \)，\( EC = 8 - 4 = 4 \)。
从 \( B \) 引的切线相等：\( BD = BF = 6 \)（其中 \( F \) 为 \( BC \) 上的切点）。
从 \( C \) 引的切线相等：\( CE = CF = 4 \)。
因此 \( BC = BF + FC = 6 + 4 = 10 \)。
答案：\( 10 \)。
题目 1 MC
在图中，\( PA \) 及 \( PB \) 为圆的切线，切点分别为 \( A \) 及 \( B \)。若 \( \angle APB = 70^\circ \)，求 \( \angle AOB \)（\( O \) 为圆心）。
A. \( 70^\circ \) B. \( 110^\circ \) C. \( 140^\circ \) D. \( 55^\circ \)
题目 2 MC
哪个心与三角形的三边等距？
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
题目 3 短答
在图中，\( PT \) 为切线，切点为 \( T \)。\( \angle PTQ = 50^\circ \)。求 \( \angle PRQ \)。
题目 4 短答
三角形 \( ABC \) 的顶点为 \( (0,0) \)、\( (4,0) \)、\( (0,3) \)。求外心。
题目 5 MC
三角形 \( ABC \) 的内切圆与 \( BC \) 相切于 \( D \)。若 \( BD = 3 \)，\( DC = 5 \)，\( AB = 7 \)，求 \( AC \)。
A. \( 9 \) B. \( 8 \) C. \( 7 \) D. \( 6 \)
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基础练习： 圆的性质（二）｜切线及四心