本文涵盖 圆的性质 的核心技巧—— 这是 DSE 卷一甲部（2）及乙部经常出现的课题，占 4–7 分。 你将学习圆的基本元素的 定义（圆心、半径、弦、弧、扇形）、 圆心角、弧与弦的关系、 圆周角定理、圆内接四边形 的性质， 以及如何运用这些定理进行几何证明。文章包括逐步例题、DSE 应试技巧、 练习题。这些是 必备技能， 在 DSE 试卷中经常出现。
完成本文后，你应能够：
圆的几何 每年 都在 DSE 卷一甲部（2）及乙部出现。题目可能要求你：
这些都是必备技能，亦会在进阶几何课题中出现。
圆的性质的题目通常以 短答题 形式出现在甲部（2），每题 3–4 分；在乙部则以 较长证明题 形式出现，每题 5–7 分。
圆 是与一个固定点（称为 圆心）距离相等的点的集合。 主要元素包括：
在同圆或等圆中：
题目：在圆中，圆心角 \( \angle AOB = 60^\circ \)。求弧 \( AB \) 的度数。
弧的度数等于其圆心角的度数。
答案：弧 \( AB = 60^\circ \)。
圆周角定理 指出：
题目：在图中，\( \angle ABC = 40^\circ \)。求弧 \( AC \) 的度数。
由圆周角定理：\( \angle ABC = \frac{1}{2} \times \text{弧 } AC \)。
所以 \( 40^\circ = \frac{1}{2} \times \text{弧 } AC \) → \( \text{弧 } AC = 80^\circ \)。
答案：弧 \( AC = 80^\circ \)。
定理：半圆上的圆周角是 直角（90°）。 即若 \( AB \) 为直径，\( C \) 在圆上，则 \( \angle ACB = 90^\circ \)。
题目：\( AB \) 为圆的直径，点 \( C \) 在圆上。若 \( \angle CAB = 35^\circ \)，求 \( \angle ABC \)。
因 \( AB \) 为直径，\( \angle ACB = 90^\circ \)。
在三角形 \( ABC \) 中，\( 35^\circ + 90^\circ + \angle ABC = 180^\circ \)。
\( \angle ABC = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ \)。
答案：\( \angle ABC = 55^\circ \)。
圆内接四边形 是四个顶点都在圆上的四边形。 主要性质：
题目：在圆内接四边形 \( ABCD \) 中，\( \angle A = 70^\circ \)，\( \angle C = 110^\circ \)。这是否可能？解释。
在圆内接四边形中，对角互补。
\( \angle A + \angle C = 70^\circ + 110^\circ = 180^\circ \) ✓
答案：可能，因为对角之和为 180°。
题目：在图中，\( O \) 为圆心。\( \angle AOB = 100^\circ \)。求 \( \angle ACB \)。
\( \angle ACB \) 是圆周角，对弧 \( AB \)。
圆心角 \( \angle AOB = 100^\circ \) 对同一弧。
由圆周角定理：\( \angle ACB = \frac{1}{2} \times 100^\circ = 50^\circ \)。
答案：\( 50^\circ \)。
题目：在圆内接四边形 \( ABCD \) 中，\( \angle A = 3x \)，\( \angle C = 2x + 20^\circ \)。求 \( x \)。
圆内接四边形中，对角互补。
\( 3x + (2x + 20^\circ) = 180^\circ \)
\( 5x + 20^\circ = 180^\circ \)
\( 5x = 160^\circ \) → \( x = 32^\circ \)。
答案：\( x = 32^\circ \)。
题目：证明若 \( ABCD \) 是圆内接四边形，则 \( \angle ABD = \angle ACD \)。
在圆内接四边形中，四个顶点都在同一圆上。
\( \angle ABD \) 和 \( \angle ACD \) 都是圆周角，对 同一弧 \( AD \)。
同弧上的圆周角相等。
答案：\( \angle ABD = \angle ACD \)（证明完毕）。
题目 1 MC
在圆中，圆心角 \( \angle AOB = 80^\circ \)。弧 \( AB \) 的度数是：
A. \( 40^\circ \) B. \( 80^\circ \) C. \( 160^\circ \) D. \( 280^\circ \)
题目 2 MC
在图中，\( O \) 为圆心。\( \angle ABC = 35^\circ \)。求 \( \angle AOC \)。
A. \( 35^\circ \) B. \( 70^\circ \) C. \( 17.5^\circ \) D. \( 105^\circ \)
题目 3 短答
在圆内接四边形 \( ABCD \) 中，\( \angle A = 85^\circ \)。求 \( \angle C \)。
题目 4 短答
\( AB \) 为直径，\( C \) 在圆上。若 \( \angle BAC = 28^\circ \)，求 \( \angle ABC \)。
题目 5 MC
以下哪项 不是 圆内接四边形的性质？
A. 对角互补
B. 外角等于内对角
C. 所有角相等
D. 顶点在圆上
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基础练习： 圆的性质（一）｜角、弧及弦