本文涵盖 弧长、扇形面积及弧度制 的核心技巧—— 这是 DSE 卷一甲部（2）及乙部经常出现的课题，占 4–6 分。 你将学习 弧度制 的定义、如何在 度与弧度之间转换、 弧长 及 扇形面积 在度制及弧度制下的公式、 如何计算 弓形面积，以及如何解 组合图形 问题。 文章包括逐步例题、DSE 应试技巧、练习题。 这些是 必备技能，在 DSE 试卷中经常出现。
完成本文后，你应能够：
弧长、扇形面积及弧度制 每年 都在 DSE 卷一甲部（2）及乙部出现。题目可能要求你：
这些都是必备技能，亦会在三角学及三维求积法中出现。
弧长及扇形面积的题目通常以 短答题 形式出现在甲部（2），每题 3–4 分；在乙部则以 较长题目 形式出现，每题 5–6 分。
弧度 是圆心角所对的弧长等于半径时的角度。
题目：将 \( 60^\circ \) 转换为弧度。
\( 60^\circ \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \) 弧度。
答案：\( \frac{\pi}{3} \)。
半径 \( r \)、圆心角 \( \theta \) 的圆的 弧长 \( s \) 为：
其中 \( \theta \) 以度为单位。
其中 \( \theta \) 以弧度为单。
弧度制弧长：\( s = r\theta \)——简单优雅！当角度以弧度表示时就用这个公式。
题目：圆的半径为 6 cm，圆心角为 \( 45^\circ \)。求弧长。
用度制公式：\( s = \frac{45}{360} \times 2\pi(6) = \frac{1}{8} \times 12\pi = \frac{3\pi}{2} \) cm。
答案：\( \frac{3\pi}{2} \) cm。
半径 \( r \)、圆心角 \( \theta \) 的 扇形面积 \( A \) 为：
弧度制扇形面积：\( A = \frac{1}{2} r^2 \theta \)——记住：一半的 \( r^2 \theta \)。
题目：圆的半径为 10 cm，圆心角为 \( \frac{\pi}{3} \) 弧度。求扇形面积。
用弧度制公式：\( A = \frac{1}{2} \times 10^2 \times \frac{\pi}{3} = \frac{50\pi}{3} \) cm²。
答案：\( \frac{50\pi}{3} \) cm²。
弓形 是由弦及其所对的弧围成的区域。 弓形面积为：
其中 \( \theta \) 以弧度为单。
题目：半径为 4 cm 的圆中，圆心角为 \( \frac{\pi}{2} \) 弧度的弦所截出的弓形面积。
\( A_{\text{弓形}} = \frac{1}{2} (4)^2 \left( \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{2} \times 16 \times \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) = 8 \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) = 4\pi - 8 \) cm²。
答案：\( 4\pi - 8 \) cm²。
DSE 题目经常结合弧、扇形、三角形及其他图形。解题步骤：
题目：一个图形由半径 8 cm、圆心角 \( 60^\circ \) 的扇形加上一个宽 8 cm、高 5 cm 的长方形组成。求总面积。
扇形面积（度制）：\( A_{\text{扇形}} = \frac{60}{360} \times \pi \times 8^2 = \frac{1}{6} \times 64\pi = \frac{32\pi}{3} \)。
长方形面积：\( A_{\text{长方形}} = 8 \times 5 = 40 \)。
总面积 = \( \frac{32\pi}{3} + 40 \)。
答案：\( \frac{32\pi}{3} + 40 \) cm²。
题目：圆的半径为 5 cm，圆心角为 \( \frac{2\pi}{3} \) 弧度。求弧长。
\( s = r\theta = 5 \times \frac{2\pi}{3} = \frac{10\pi}{3} \) cm。
答案：\( \frac{10\pi}{3} \) cm。
题目：扇形的半径为 12 cm，圆心角为 \( 30^\circ \)。求面积。
\( A = \frac{30}{360} \times \pi \times 12^2 = \frac{1}{12} \times 144\pi = 12\pi \) cm²。
答案：\( 12\pi \) cm²。
题目：半径为 6 cm 的圆中，圆心角为 \( 60^\circ \) 的弦所截出的弓形面积。（用弧度制）
转换为弧度：\( 60^\circ = \frac{\pi}{3} \)。
\( A_{\text{弓形}} = \frac{1}{2} \times 6^2 \times \left( \frac{\pi}{3} - \sin \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \times 36 \times \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 18 \times \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 6\pi - 9\sqrt{3} \) cm²。
答案：\( 6\pi - 9\sqrt{3} \) cm²。
题目 1 MC
将 \( 120^\circ \) 转换为弧度。
A. \( \frac{2\pi}{3} \) B. \( \frac{3\pi}{2} \) C. \( \frac{4\pi}{3} \) D. \( \frac{\pi}{3} \)
题目 2 MC
圆的半径为 7 cm，圆心角为 \( \frac{\pi}{4} \) 弧度。弧长为：
A. \( \frac{7\pi}{4} \) cm B. \( \frac{7\pi}{2} \) cm C. \( 28\pi \) cm D. \( \frac{7\pi}{8} \) cm
题目 3 短答
半径为 9 cm，圆心角为 \( 40^\circ \) 的扇形面积。
题目 4 短答
半径为 5 cm，圆心角为 \( \frac{\pi}{2} \) 弧度的弓形面积。
题目 5 MC
一个图形由半径 4 cm 的半圆及宽 8 cm、高 3 cm 的长方形组成。总面积是：
A. \( 24 + 8\pi \) B. \( 24 + 4\pi \) C. \( 24 + 16\pi \) D. \( 12 + 4\pi \)
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基础练习： 求积法｜弧长、扇形面积及弧度制