本文涵盖 立体表面积及体积 的核心技巧—— 这是 DSE 卷一甲部（2）及乙部经常出现的课题，占 4–6 分。 你将学习常见立体（棱柱、圆柱、圆锥、球体、棱锥）的 体积 及 表面积 公式、 相似立体 的边长、面积及体积比例，以及如何解 组合立体 的问题。文章包括逐步例题、DSE 应试技巧、 练习题。这些是 必备技能， 在 DSE 试卷中经常出现。
完成本文后，你应能够：
三维度量 每年 都在 DSE 卷一甲部（2）及乙部出现。题目可能要求你：
这些都是必备技能，亦会在容量、包装及建筑等现实情境中出现。
三维度量的题目通常以 短答题 形式出现在甲部（2），每题 3–4 分；在乙部则以 较长题目 形式出现，每题 5–6 分。
圆锥及棱锥的体积是对应棱柱／圆柱的 三分之一。记住：\( V_{\text{圆锥}} = \frac{1}{3} V_{\text{圆柱}} \)。
若两个立体 相似，其对应边长成比例。 设线性比例因子为 \( k \)（对应边长之比），则：
这表示若尺寸加倍（比例因子为 2），表面积变为 4 倍，体积变为 8 倍。
题目：两个相似圆柱的高分别为 5 cm 及 15 cm。若较小圆柱的体积为 200 cm³，求较大圆柱的体积。
比例因子 \( k = \frac{15}{5} = 3 \)。
体积比 = \( k^3 = 27 \)。
较大体积 = \( 200 \times 27 = 5400 \) cm³。
答案：5400 cm³。
组合立体 由两个或以上简单立体组成。 求总体积或总表面积的方法：
题目：一个立体由半径 4 cm、高 6 cm 的圆柱，顶部加上相同半径的半球体组成。求总体积。
圆柱体积 = \( \pi (4)^2 (6) = 96\pi \) cm³。
半球体体积 = \( \frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi (4)^3 = \frac{2}{3}\pi (64) = \frac{128\pi}{3} \) cm³。
总体积 = \( 96\pi + \frac{128\pi}{3} = \frac{288\pi + 128\pi}{3} = \frac{416\pi}{3} \) cm³。
答案：\( \frac{416\pi}{3} \) cm³。
题目：圆锥的半径为 6 cm，高为 8 cm。求体积。
\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (6)^2 (8) = \frac{1}{3} \pi \times 36 \times 8 = 96\pi \) cm³。
答案：\( 96\pi \) cm³。
题目：求半径为 7 cm 的球体表面积。
\( A = 4\pi r^2 = 4\pi (7)^2 = 4\pi \times 49 = 196\pi \) cm²。
答案：\( 196\pi \) cm²。
题目：两个相似棱锥的体积分别为 54 cm³ 及 432 cm³。求对应高的比。
体积比 = \( \frac{432}{54} = 8 \)。
由于体积比 = \( k^3 \)，\( k = \sqrt[3]{8} = 2 \)。
所以高的比为 2:1。
答案：2:1。
题目 1 MC
半径 3 cm、高 10 cm 的圆柱体积为：
A. \( 30\pi \) B. \( 60\pi \) C. \( 90\pi \) D. \( 120\pi \)
题目 2 MC
球体的表面积为 \( 144\pi \) cm²。求半径。
A. \( 4 \) cm B. \( 6 \) cm C. \( 8 \) cm D. \( 12 \) cm
题目 3 短答
圆锥的半径为 5 cm，斜高为 13 cm。求总表面积。
题目 4 短答
两个相似圆柱的高分别为 4 cm 及 10 cm。若较小圆柱的体积为 80 cm³，求较大圆柱的体积。
题目 5 MC
一个立体由相同半径的半球体置于圆柱上方组成。若半径为 3 cm，圆柱高为 5 cm，总体积为：
A. \( 45\pi + 18\pi \) B. \( 45\pi + 9\pi \) C. \( 45\pi + 12\pi \) D. \( 45\pi + 6\pi \)
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基础练习： 求积法｜立体表面积及体积