本文涵盖 近似值、科学记法及误差分析 的核心技巧—— 这是 DSE 卷一甲部（1）经常出现的课题，占 3–5 分。你将学习如何将数字 四舍五入至指定 有效数字 或 小数位、如何用 科学记法 表达极大或极小的数值，以及如何计算 绝对误差、相对误差及百分误差。 文章包括逐步例题、DSE 应试技巧、练习题。 这些都是 必取分数，每位考生都应该稳握。
本文涵盖 近似值、科学记法及误差分析 的核心技巧—— 这是 DSE 卷一甲部（1）经常出现的课题，占 3–5 分。你将学习如何将数字 四舍五入至指定 有效数字 或 小数位、如何用 科学记法 表达极大或极小的数值，以及如何计算 绝对误差、相对误差及百分误差。 文章包括逐步例题、DSE 应试技巧、练习题及 10 题功课（附详细题解）。 这些都是 必取分数，每位考生都应该稳握。
完成本文后，你应能够：
近似值及误差的题目 每年 都在 DSE 卷一甲部（1）出现。题目可能要求你：
只要掌握规则，这些都是稳阵分数——切勿失分！
近似值及误差的题目通常以 短答题 形式出现在甲部（1），每题 2–3 分，测试你的基本运算能力。
将数字四舍五入至指定的 小数位，即保留小数点后若干位数字。
| 数字 | 四舍五入至 1 d.p. | 四舍五入至 2 d.p. | 四舍五入至 3 d.p. |
|---|---|---|---|
| \( 3.14159 \) | \( 3.1 \) | \( 3.14 \) | \( 3.142 \) |
| \( 2.71828 \) | \( 2.7 \) | \( 2.72 \) | \( 2.718 \) |
| \( 0.9999 \) | \( 1.0 \) | \( 1.00 \) | \( 1.000 \) |
将 \( 0.9999 \) 四舍五入至 1 d.p. 时，答案是 1.0，而不是 1。小数点后的零必须保留，以显示精确度。
有效数字 计算所有具有意义的数字，从 第一个非零数字 开始。
| 数字 | 有效数字数目 | 四舍五入至 2 s.f. | 四舍五入至 3 s.f. |
|---|---|---|---|
| \( 45.678 \) | 5 | \( 46 \) | \( 45.7 \) |
| \( 0.00345 \) | 3（\( 3,4,5 \)） | \( 0.0035 \) | \( 0.00345 \) |
| \( 1500 \) | 2（\( 1,5 \)） | \( 1500 \) | \( 1500 \) |
| \( 0.05060 \) | 4（\( 5,0,6,0 \)） | \( 0.051 \) | \( 0.0506 \) |
有效数字：「从第一个非零数字开始数，然后继续数！」
科学记法 以以下形式表达数字：
其中 \( 1 \le A < 10 \)，\( n \) 是整数。
| 普通形式 | 科学记法 | 原因 |
|---|---|---|
| \( 3000 \) | \( 3 \times 10^3 \) | 小数点向左移 3 位 |
| \( 0.00056 \) | \( 5.6 \times 10^{-4} \) | 小数点向右移 4 位 |
| \( 6.02 \times 10^{23} \) | 已在科学记法中 | — |
| \( 0.00123 \) | \( 1.23 \times 10^{-3} \) | 小数点向右移 3 位 |
乘法：
除法：
加减法： 先转换为相同的 10 的幂次。
\( (3 \times 10^4) \times (2 \times 10^5) = 6 \times 10^9 \)
\( (6 \times 10^8) \div (2 \times 10^3) = 3 \times 10^5 \)
\( (2.5 \times 10^4) + (3.0 \times 10^4) = 5.5 \times 10^4 \)
当量度值为近似值时，我们可以计算误差。
$$ \text{绝对误差} = |\text{准确值} - \text{近似值}| $$
$$ \text{相对误差} = \frac{\text{绝对误差}}{|\text{准确值}|} $$
$$ \text{百分误差} = \text{相对误差} \times 100\% $$
DSE 题目通常会给你 准确值 和 近似值，并要求你计算百分误差。计算相对误差时，谨记使用 准确值 作为分母。
题目：某量度的准确值为 50.0 cm。学生量度为 49.5 cm。求绝对误差、相对误差及百分误差。
绝对误差 = \( |50.0 - 49.5| = 0.5 \) cm
相对误差 = \( \frac{0.5}{50.0} = 0.01 \)
百分误差 = \( 0.01 \times 100\% = 1\% \)
题目：将 \( 0.004567 \) 四舍五入至 2 位有效数字。
首两个有效数字是 \( 4 \) 和 \( 5 \)。
下一个数字是 \( 6 \)（≥ 5），所以进位。
答案：\( 0.0046 \)
题目：将 \( 0.00000045 \) 写成科学记法。
将小数点向右移 7 位：
\( 0.00000045 = 4.5 \times 10^{-7} \)
题目：某量的准确值为 250。计算机显示 252。求百分误差。
绝对误差 = \( |250 - 252| = 2 \)
相对误差 = \( \frac{2}{250} = 0.008 \)
百分误差 = \( 0.008 \times 100\% = 0.8\% \)
题目 1 MC
将 \( 0.009876 \) 四舍五入至 3 位有效数字。
A. \( 0.00988 \) B. \( 0.00987 \) C. \( 0.0099 \) D. \( 0.01 \)
题目 2 MC
\( 3.2 \times 10^{-4} \) 的普通形式是什么？
A. \( 0.00032 \) B. \( 0.0032 \) C. \( 0.032 \) D. \( 0.32 \)
题目 3 短答
计算 \( (4 \times 10^3) \times (5 \times 10^6) \)，并以科学记法表达答案。
题目 4 短答
某量度的准确值为 80.0 m，学生估算为 79.2 m。求百分误差。
题目 5 MC
以下哪项 不是 有效的科学记法？
A. \( 5.6 \times 10^3 \) B. \( 0.56 \times 10^4 \) C. \( 7.2 \times 10^{-2} \) D. \( 9.0 \times 10^0 \)
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基础练习： 近似值与误差全攻略｜科学记法＋有效数字